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Ableitung des Rayleigh-Quotient

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

bjk09 aktiv_icon

11:03 Uhr, 03.06.2009

Hallo
Ich habe die Ableitung des Rayleigh-Quotient berechnet.
ich möchte wissen ob ich ein Fehler gemacht habe bei der Berechung.

r (A, M, x) = \frac{x^{T} A x}{x^{T} M x}

D_{x} r (A, M, x) = \nabla \frac{x^{T} A x}{x^{T} M x}

A und

M

sind fest

\nabla (x^{T} M x) = 2 A x

\nabla (x^{T} M x) = 2 M x

Nach Quotientenregelabgeleitet ist dann

\nabla \frac{x^{T} A x}{x^{T} M x}

= \frac{(2 A x) (x^{T} M x) - (x^{T} A x) (2 M x)}{{(x^{T} M x)}^{2}}

= \frac{2 A x x^{T} M x}{{(x^{T} M x)}^{2}} - \frac{2 x^{T} A x M x}{{(x^{T} M x)}^{2}}

= \frac{2 A x}{x^{T} M x} - \frac{2 A x}{x^{T} M x}

= \frac{2 A}{x^{T} M} - \frac{2 A}{x^{T} M}

= 0

Ist die Rechnung richtig oder habe ich irgendwo ein Fehler?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

12:02 Uhr, 03.06.2009

Hallo,

du musst ja einen Fehler haben, sonst wäre der R-Quotient ja konstant.

Du setzt wohl voraus, dass A und

M

symmetrisch sind? Auf jeden Fall hat Du wohl folgende Umformung durchgeführt:

2 \cdot (x^{T} \cdot A \cdot x) \cdot M \cdot x = 2 \cdot A \cdot x \cdot (x^{T} \cdot M \cdot x)

um dann zu kürzen. Du vertauschst also die Reihenfolge der Faktoren. Außerdem benutzt Du die Quotientenregel. Dann musst Du aber die Ableitungen gemäß ihrer eigentlichen Definition verwenden,