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Ableitung einer Bilinearform

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

MathsTom aktiv_icon

16:31 Uhr, 22.05.2014

Hallo,
wir sind heute in das Thema "Differentiation im

ℝ^{n}

" eingestiegen und unser Prof hat uns eine Aufgabe gegeben zum freiwilligen Wiederholen (da die Tutorien diese Woche ausfielen).
Wie auch immer, ich sitze da grade dran und benötige bitte Hilfe.

Also:

β : ℝ^{k} x ℝ^{l} \to ℝ^{m}

sei eine bilineare Abbildung. Zeigen Sie:
Für alle

y, v \in ℝ^{k}

und alle

z, w \in ℝ^{l}

gilt:

D β (y, z) (v, w) = β (v, z) + β (y, w),

wobei

D β := β'

das Differential von

β

meint.

Was bedeutet die Schreibweise

D β (y, z) (v, w)

?
Hat jemand einen Ansatz für mich?

Liebe Grüße,
Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

16:53 Uhr, 22.05.2014

Das Differential einer Abbildung hat dieselbe Anfangs- und Zielraum wie die Abbildung selber, nur ist Differential linear.
D.h.

D β (y, z)

ist für fixierte

y

und

z

eine lineare Abbildung

ℝ^{k} \times ℝ^{l} \to ℝ^{m}

, oder anders ausgedrückt, eine bilineare Abbildung auf

ℝ^{k} \times ℝ^{l}

mit dem Zielraum

ℝ^{m}

. Und

D β (y, z) (v, w)

ist nichts Anderes, als die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor

(v, w)

aus

ℝ^{k} \times ℝ^{l}

(bzw. auf ein Vektor-Paar).
Was dabei wichtig ist:

y, z

und

v, w

scheinen von gleichen Natur zu sein, weil sowohl

(y, z)

als auch

(v, w)

aus

ℝ^{k} \times ℝ^{l}

kommen, aber der Schein trügt.

(y, z)

ist ein Punkt, in welchem Abbildung abgeleitet wird.

(v, w)

ist dagegen ein Argument des Differetials als lineare Abbildung, das sind keine Punkte, sondern Vektoren. Und streng genommen, "leben" sie in einem Tangentialraum, nur das dieser Raum in diesem Fall zum Definitionsraum der Abbildung isomorph ist.

MathsTom aktiv_icon

17:00 Uhr, 22.05.2014

Hallo :-)
Achso, ok. Das leuchtet ein. Ich hab das Wort Differential halt noch nie gehört, aber das scheint nichts anderes als die Ableitung zu sein.

Hast du denn auch eine Idee zu der Aufgabe?

DrBoogie aktiv_icon

20:46 Uhr, 22.05.2014

D β (y, z)

ist natürlich nicht irgendeine lineare Abbildung, sondern die beste lineare Approximation von

β (y, z)

, womit (im Einklang mit der gewöhnlichen Ableitung) gemeint ist, dass

β (y + Δ y, z + Δ z) - β (y, z) = D β (y, z) (Δ y, Δ z) + o (Δ y, Δ z)

(1),

o (Δ y, Δ z)

bedeutet "klein im Vergleich zu

∣ (Δ x, Δ y) ∣

", also

lim_{(Δ x, Δ y) \to 0} \frac{o (Δ x, Δ y)}{∣ (Δ x, Δ y) ∣} = 0

.

Nun, da

β (y, z)

bilinear ist, können wir

β (y + Δ y, z + Δ z) - β (y, z)

direkt ausdrücken:

β (y + Δ y, z + Δ z) - β (y, z) = β (y, z) + β (Δ y, z) + β (y, Δ z) + β (Δ y, Δ z) - β (y, z) =

= β (Δ y, z) + β (y, Δ z) + β (Δ y, Δ z) = β (Δ y, z) + β (y, Δ z) + o (Δ y, Δ z)

(2)

weil

lim_{(Δ x, Δ y) \to 0} \frac{β (Δ x, Δ y)}{∣ (Δ x, Δ y) ∣} = 0

.

Der Vergleich zwischen (1) und (2) zeigt, dass

D β (y, z) (Δ y, Δ z) = β (Δ y, z) + β (y, Δ z)

, oder in der allgemeineren Notation

D β (y, z) (v, w) = β (v, z) + β (y, w)

MathsTom aktiv_icon

22:50 Uhr, 22.05.2014

Hallo,
was genau ist dieses

o

? Einfach das Restglied?
Mir ist aber nicht klar, wieso dein Grenzwert gegen 0 geht. Gibt es dafür einen Grund?

Wie kommst du nun auf die allgemeine Form? Wieso ist das zulässig?
Also ist es wirklich so, dass das Differential nichts anderes als die Ableitung ist?

DrBoogie aktiv_icon

07:13 Uhr, 23.05.2014

"Hallo, was genau ist dieses o ? Einfach das Restglied?"

Einfach Restglied.

"Mir ist aber nicht klar, wieso dein Grenzwert gegen 0 geht."

Wenn

Δ x = h \cdot v_{0}, Δ y = h \cdot w_{0}

, dann

∣ (Δ x, Δ y) ∣ = ∣ h ∣ ∣ (v_{0}, w_{0}) ∣

und

∣ β (Δ x, Δ y) ∣ = ∣ h^{2} ∣ ∣ β (v_{0}, w_{0}) ∣

wegen Bilinearität von

β

.

"Wie kommst du nun auf die allgemeine Form? Wieso ist das zulässig?"

In

β (Δ x, z)

sind beide -

Δ x, z

- einfach Vektoren, da gibt's keine Einschränkung. Und wie ich einen Vektor bezeichne -

Δ x

oder

v

, oder gar

{\overline{G}}_{137}

- spielt keine Rolle.

"Also ist es wirklich so, dass das Differential nichts anderes als die Ableitung ist?"

Ja. Aber Du musst nicht mich Fragen, sondern kucken, was in der Vorlesung war. Oder googeln.

MathsTom aktiv_icon

16:03 Uhr, 23.05.2014

Ich hab ja auch gegoogelt aber in Wikipedia steht da noch so ein mal

h

dahinter. Das habe ich nicht verstanden.

Deine Rechnung zeigt auch dass die Ableitung existiert, oder?

DrBoogie aktiv_icon

16:11 Uhr, 23.05.2014

Ja.

Such Dir ein vernünftiges Buch.
Oder einen passablen Skript im Netz.
Du kannst damit anfangen, z.B.:
http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/mawi04/mw03_9.pdf
(Über totale Ableitung steht es eher hinten).

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