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Ableitung einer Funktion mit Verkettung+Quotient

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Tags: Differentiation, Funktionalanalysis

ironmaik aktiv_icon

00:58 Uhr, 20.01.2015

Hallo Leute,

ich habe ein Problem und zwar mit der Ableitung der folgenden Formel:

f (x) = \frac{3 x - 6}{{(5 - 2 x)}^{2}}

Nun muss ich hier ja wie es scheint, sowohl die Quotientenregel als auch die Kettenregel anwenden. Jedoch komme ich bei meinen Rechenwegen nie auf die richtige erste und zweite Ableitung.

Die Lösung soll

f' (x) = \frac{6 x - 9}{{(5 - 2 x)}^{3}}

und

f'' (x) = \frac{24 x - 24}{{(5 - 2 x)}^{4}}

sein.

Ich bin so vorgegangen dass ich zunächst die Quotientenregel angewandt habe und bei der Ableitung im Nenner noch die Kettenregel. Leider kommen bei mir nur wirre Zahlen aber beim besten Willen nicht das Ergebnis raus.

Ein Lösungsversuch war zum Beispiel:

f' (x) =

(u'v-uv')/(v^2)=

\frac{(3 x {(5 x - 2 x)}^{2}) - (3 x - 6) \cdot (- 20 + 8 x)}{{({(5 - x)}^{2})}^{2}}

Hier fängt es bei mir schon an. Habe dann auch binomische Formeln angewandt zum Auflösen der Klammern, sollte man das machen?

Kann mir einer mit dem Rechenweg helfen? Der komplette Rechenweg wäre super, da ich sehr bald die Klausur habe. Einzelne Anregungen wären für mich aber auch hilfreich, wie ich bei solchen Formeln vorgehen sollte.

Vielen Dank schonmal!

Gruß Maik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

01:09 Uhr, 20.01.2015

f (x) = \frac{3 \cdot x - 6}{{(5 - 2 \cdot x)}^{2}}

Den Term

(5 - 2 \cdot x)

so belassen wegen des Heraushebens ( Kürzen

!)

f' (x) = \frac{{(5 - 2 \cdot x)}^{2} \cdot 3 - (3 \cdot x - 6) \cdot 2 \cdot (5 - 2 \cdot x) \cdot (- 2)}{{(5 - 2 \cdot x)}^{4}} =

= \frac{(5 - 2 \cdot x) \cdot [(5 - 2 \cdot x) \cdot 3 - (3 \cdot x - 6) \cdot (- 4)]}{{(5 - 2 \cdot x)}^{4}} =

= \frac{6 \cdot x - 9}{{(5 - 2 \cdot x)}^{3}}

Atlantik aktiv_icon

01:16 Uhr, 20.01.2015

f (x) = \frac{3 x - 6}{{(5 - 2 x)}^{2}}

[\frac{3 x - 6}{{(5 - 2 x)}^{2}}]

= \frac{3 \cdot {(5 - 2 x)}^{2} - (3 x - 6) \cdot 2 \cdot {(5 - 2 x)}^{1} \cdot (- 2)}{{(5 - 2 x)}^{4}}

(Im Kopf

(5 - 2 x)

ausklammern) und kürzen:

= \frac{3 \cdot (5 - 2 x) + (3 x - 6) \cdot 4}{{(5 - 2 x)}^{3}} = \frac{15 - 6 x + 12 x - 24}{{(5 - 2 x)}^{3}} = \frac{6 x - 9}{{(5 - 2 x)}^{3}}

mfG

Atlantik

ironmaik aktiv_icon

03:10 Uhr, 20.01.2015

Dankeschön! Das hilft mir schonmal weiter.

Einen Schritt verstehe ich aber nicht ganz, und zwar wie genau macht ihr den Schritt mit dem Kürzen dass im Nenner dann

{(5 - 2 x)}^{3}

steht? Für mein Verständnis (habe lange nicht mehr Analysis gemacht) fällt

(5 - 2 x)

im Zähler zweimal weg und im Nenner nur einmal (von hoch 4 auf hoch

3)

.

Wahrscheinlich mache ich hier einen Denkfehler, aber mir will es einfach nicht einfallen..

EDIT:

Achso ja klar!
Jetzt ist mir aufgefallen wie genau ich diese ausklammern kann. Man stand ich gerade auf dem Schlauch. Danke Leute!

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