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Ableitung einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Matrix

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13:04 Uhr, 08.04.2013

Hallo Zusammen,

Ich versuche gerade die quadratische Matrix

(A_{I J} - 1)^{- 1}

abzuleiten, bin mir aber unsicher wie das funktioniert. (1 ist die Einheitsmatrix)
Berechnen möchte ich

\partial_{μ} (A_{I J} - 1)^{- 1}

.

Meine Ursprüngliche Überlegung, war das wie eine 1-dim. Funktion abzuleiten, also:

\partial_{μ} (A_{I J} - 1)^{- 1} = - (A_{I J} - 1)^{- 2} \partial_{μ} A_{i j}

.

Dabei bekomme ich dann aber das Problem, dass ich nicht weiß wie die Indices vom 1. Term laufen müssen.
Um das zu prüfen, habe ich einen Fall mit A 2x2 Matrix berechnet und außerdem

(A - 1)^{- 1} = \frac{1}{\det A} (A_{I J} - 1)^{a d j u n k t e}

verwendet.

Damit komme ich auf:

\partial_{μ} {(A_{I J} - 1)^{- 1}}_{11} = - \frac{1}{{\det A}^{2}} (A_{22}^{2} \partial_{μ} A_{11} - A_{22} A_{21} \partial_{μ} A_{12} - A_{22} A_{12} \partial_{μ} A_{21} + A_{12} A_{21} \partial_{μ} A_{22})

\partial_{μ} {(A_{I J} - 1)^{- 1}}_{12} = - \frac{1}{{\det A}^{2}} (A_{11} A_{12} \partial_{μ} A_{22} - A_{12}^{2} \partial_{μ} A_{21} - A_{11} A_{22} \partial_{μ} A_{12} + A_{22} A_{12} \partial_{μ} A_{11})

die anderen beiden Terme sind analog.

Leider kann ich daraus nicht wirklich was erkennen. Könnt ihr mir helfen, wie man

\partial_{μ} (A_{I J} - 1)^{- 1}

für allgemeine Dimensionen berechnet (also nicht nur D=2)?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren