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Ableitung einer zeitabhängigen Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

NEPH1L1M aktiv_icon

18:27 Uhr, 17.11.2010

Hallo,

ich habe Probleme bei der Ableitung folgender Gleichung

\dot{α} (t) = λ \cdot \frac{cos (φ)}{cos (α)} \cdot \dot{φ}

(weiß nicht wie man den Punkt für eine Ableitung nach der Zeit hier machen kann, deshalb

\frac{d α}{d t}

usw. sorry)

Rauskommen soll:

\dot{\dot{α}} = λ \cdot \frac{cos (φ)}{cos (α)} \cdot \dot{\dot{φ}} - λ \cdot \frac{sin (φ)}{cos (α)} \cdot {\dot{φ}}^{2} + tan (α) \cdot {\dot{α}}^{2}

Habe die Kettenregel und Quotientenregel sowie trigonometrische Umformungen angewandt komme aber nicht auf das Ergebnis. Vor allem die beidenAbleitungen von

φ

und

α

im Quadrat verwirren mich.

Danke für eure Hilfe im voraus.

LG NEPHI

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Rabanus aktiv_icon

21:57 Uhr, 17.11.2010

Hey !

1 . : \frac{d α}{d t} = \dot{α}

{

"dot alpha"}

2 . :

Soll jetzt gebildet werden:

\frac{d}{d t} \dot{α} = \frac{d}{d t} (λ \frac{cos (φ (t))}{cos (α (t))} \cdot \dot{φ})

???

Servus

NEPH1L1M aktiv_icon

10:24 Uhr, 18.11.2010

Hallo Rabanus,

habe deinen Tipp umgesetzt vielen Dank (zweite Ableitung

\dot{\dot{}}

ist aber sicherlich
nicht richtig )

Ich hoffe aber trotzdem jetzt ist es etwas verständlicher geworden.

LG NEPHI

Rabanus aktiv_icon

12:30 Uhr, 18.11.2010

Hallo NEPHI !

1 . :

Zweifache Ableitungen nach

t

schreibt man "ddot x" .

2 . :

Es liegt ein Produkt mit 3 Faktoren vor, also

f (u, v, w) = u \cdot v \cdot w

Zu bilden ist

f' (u, v, w) = \dots

(Die Produktregel für 3 Faktoren solltest Du kennen

!)

u = cos (φ (t))

v = {(cos (α (t)))}^{- 1}

w = \dot{φ} (t)

Bei der Bildung von

u', v'

und

w'

ist selbstverständlich die Kettenregel anzuwenden.

Viel Spaß mit dem Bandwurm
Servus

NEPH1L1M aktiv_icon

17:34 Uhr, 18.11.2010

Hallo Rabanus,

danke für den HInweis "ddot" - fand ich nirgends.

Kettenregel für 3 Funktionen kenne ich ja:
u´

\cdot v \cdot w + u \cdot

v´

\cdot w + u \cdot v \cdot

w´

Man könnte aber hier die Quotientenregel

+

Kettenregel ebenso anwenden meine ich oder ?

Ich muss dann nochmals den "Bandwurm" bei mir auf Fehler untersuchen.

u = \frac{1}{cos (α)} \Rightarrow

u´

= \frac{sin (α)}{{cos}^{2} (α)}

v = cos (φ) \Rightarrow

v´

= - sin (φ)

w = φ (t) = <

w´=

\dot{φ}

\Rightarrow

der bandwurm

\overset{..}{α} (t) = λ \cdot [\frac{sin (α)}{{cos}^{2} (α)} \cdot cos (φ) \cdot φ (t)] + [\frac{1}{cos (α)} \cdot - sin (φ) \cdot φ (t)] + [\frac{1}{cos (α)} \cdot cos (φ) \cdot \dot{φ}]

BREAK

- -

bitte um Prüfung ob es bis hierher stimmt :-)

Danke!

LG NEPHI

Rabanus aktiv_icon

18:28 Uhr, 18.11.2010

"Man könnte aber hier die Quotientenregel

+

Kettenregel ebenso anwenden meine ich oder ?"
Natürlich kannst Du die Quotientenregel anwenden.
Bei Brüchen bevorzuge ich die Schreibweise mit negativen Exponenten, um die Differenzbildung im Zähler zu umgehen.

Aber, NEPHI, Du musst auch die Kettenregel anwenden; denn es wird nach der Zeit

t

abgeleitet. Alle Winkel sind doch Funktionen von

t;

sorry, wenn ich Dich mit der Schreibweise ' verwirrt haben sollte.

An Deinem Beispiel

u = \frac{1}{cos (α (t))}

muss es heißen:

\frac{d u}{d t} = \frac{d u}{d α} \cdot \frac{d α}{d t} = \frac{sin (α)}{{cos}^{2} (α)} \cdot \dot{α}

Das Gleiche gilt auch für die anderen Funktionen. Also auf ein Neues !

Servus

NEPH1L1M aktiv_icon

09:25 Uhr, 19.11.2010

Hallo Rabanus,

oh - stimmt, da ist der "Hund" begraben!! natürlich ich habs übersehen, da das

t

nicht explizit geschrieben wird. Aber klar das ist zu berücksichtigen innere/äußere Funktion.

Ich geh es nochmals an und poste es dann.

Zunächst herzlichen Dank für den Steigbügel.

LG NEPHI

NEPH1L1M aktiv_icon

17:21 Uhr, 20.11.2010

So dann wollen wir es nochmals angehen:

Ausgangsgleichung / DGL

\dot{α} (t) = λ \cdot \frac{cos [φ (t)]}{cos [α (t)]} \cdot \dot{φ}

\Rightarrow \dot{α} (t) = λ \cdot \frac{1}{cos α (t)} \cdot cos φ (t) \cdot \dot{φ}

Kettenregel u´

\cdot v \cdot w + u \cdot

v´

\cdot w + u \cdot v \cdot

w´

u = {cos [α (t)]}^{- 1}; v = cos φ (t); w = \dot{φ}

Ableitung von

u = {cos [α (t)]}^{- 1}

u_{a 1} = {u_{i 1}}^{- 1} \Rightarrow {\dot{u}}_{a 1} = - 1 \cdot {u_{i 1}}^{- 2}

u_{i 1} = cos (u_{i 2}) \Rightarrow {\dot{u}}_{i 1} = - sin (u_{i} 2)

u_{i 2} = α (t) \Rightarrow {\dot{u}}_{i 2} = \dot{α} (t)

\dot{u} = - 1 \cdot - sin α (t) \cdot cos α {(t)}^{- 2} \cdot \dot{α} (t)

\dot{u} = \frac{sin α (t)}{{cos}^{2} α (t)} \cdot \dot{α} (t)

Ableitung von

v = cos [φ (t)

Innere Funktion

v_{i} = φ (t) \Rightarrow {\dot{v}}_{i} = \dot{φ} (t)

Äußere Funktion

v_{a} = cos (v_{i}) \Rightarrow {\dot{v}}_{a} = - sin (v_{i})

\Rightarrow

v´=

- sin φ (t) \cdot \dot{φ} (t)

Ableitung von

w = \dot{φ} (t)

w

= \overset{..}{φ} (t)

Nun Anwendung der Kettenregel u´*

v \cdot w + u \cdot

v´

\cdot w + u \cdot v \cdot

w´

[\frac{sin α (t)}{{cos}^{2} α (t)} \cdot \dot{α} (t) \cdot cos φ (t) \cdot \dot{φ} (t)] + [\frac{1}{cos [α (t)]} \cdot - sin φ (t) \cdot \dot{φ} (t) \cdot \dot{φ} (t)] + [\frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)]

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = λ \cdot {[\frac{sin α (t)}{{cos}^{2} α (t)} \cdot \dot{α} (t) \cdot cos φ (t) \cdot \dot{φ} (t)] + [\frac{1}{cos [α (t)]} \cdot - sin φ (t) \cdot \dot{φ} (t) \cdot \dot{φ} (t)] + [\frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)]}

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = λ \cdot {[(\frac{1}{cos α (t)} \cdot \frac{sin α (t)}{cos α (t)} \cdot \dot{α} (t) \cdot cos φ (t) \cdot \dot{φ} (t) + [\frac{1}{cos α (t)} \cdot - sin φ (t) \cdot \dot{φ} (t) \cdot \dot{φ} (t)] + [\frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)]}

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = λ \cdot {[\frac{1}{cos α (t)} \cdot tan α (t) \cdot \dot{α} (t) \cdot cos φ (t) \cdot \dot{φ} (t)] - [\frac{1}{cos α (t)} \cdot sin φ (t) \cdot \dot{φ} {(t)}^{2}] + [\frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)]}

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = λ \cdot {[\frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \dot{φ} (t) \cdot tan α (t) \cdot \dot{α} (t)] - [\frac{1}{cos α (t)} \cdot sin φ (t) \cdot \dot{φ} {(t)}^{2}] + [\frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)]}

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = λ \cdot \frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \dot{φ} (t) \cdot tan α (t) \cdot \dot{α} (t) - λ \cdot \frac{1}{cos α (t)} \cdot sin φ (t) \cdot \dot{φ} {(t)}^{2} + λ \cdot \frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)

Mit

\dot{α} (t) = λ \cdot \frac{cos [φ (t)]}{cos [α (t)]} \cdot \dot{φ}

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = \dot{α} (t) \cdot tan α (t) \cdot \dot{α} (t) - λ \cdot \frac{1}{cos α (t)} \cdot sin φ (t) \cdot \dot{φ} {(t)}^{2} + λ \cdot \frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = \dot{α} {(t)}^{2} \cdot tan α (t) - λ \cdot \frac{sin φ (t)}{cos α (t)} \cdot \dot{φ} {(t)}^{2} + λ \cdot \frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t)

\Rightarrow \overset{..}{α} (t) = λ \cdot \frac{cos φ (t)}{cos α (t)} \cdot \overset{..}{φ} (t) - λ \cdot \frac{sin φ (t)}{cos α (t)} \cdot \dot{φ} {(t)}^{2} + tan α (t) \cdot \dot{α} {(t)}^{2}

Rabanus aktiv_icon

18:52 Uhr, 20.11.2010

Hallo NEPHI, jetzt hast Du ja wohl den 'Bandwurm' erfolgreich abgewickelt. :-)
Glückwunsch !

Ich habe die Rechnung nicht im Einzelnen überprüft; aber einige Schreibfehler sind mir aufgefallen.

Z . B

. kann man nicht schreiben:

cos [φ (t) \cdot \dot{φ} (t)]

(was mathematischer Unsinn ist.)
Die Winkelfunktionen sind nur für dimensionslose Zahlen (Bogenlänge/Radius) definiert.

φ (t) \cdot \dot{φ} (t)

ist aber von der Dimension Winkel/Zeit

(\dot{φ} =

Winkelgeschw.); und dafür hat die Mathematik bisher noch keine 'Winkelfunktionen' gefunden ! :-D)
Richtig muss es also heißen:

cos (φ (t)) \cdot \dot{φ} (t)

Servus

NEPH1L1M aktiv_icon

01:21 Uhr, 21.11.2010

Hi Rabanus,

ja das war ein Stück Arbeit, da haben sich Bandwurmfehler eingeschlichen

-

in dem Wust ist mir dies (leider) nicht aufgefallen, das stimmt selbstverständlich.

Korrektur ist gemacht!

Merci für deine Mühe

LG NEPHI

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