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Ableitung mit Betrag

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Betrag, Differentiation

ZAceZe aktiv_icon

18:07 Uhr, 17.01.2010

Hallo!
Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen. Ich suche die Ableitung von

| x |

hoch

p

. Ich weiß einfach nicht, wie ich mit den Betragsstrichen umgehen soll...
Schon mal vielen, vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

onkelbenz aktiv_icon

18:17 Uhr, 17.01.2010

Habe zwar nie darüber nachgedacht, aber bei Beträgen gibt es generäll 2 möglichkeiten:

1) du behälst die betragsstriche, womit die Ableitung $| p \cdot x^{p - 1} |$ wäre. Oder

2) du löst die Betragsstriche auf, womit die Ableitung wiederrum 2 Fälle hätte

a) für x < 0 $- p \cdot x^{p - 1}$

b) für x $\geq$ 0 $p \cdot x^{p - 1}$

anonymous

18:18 Uhr, 17.01.2010

naja, werd dir drüber klar, was ein betrag heisst:

| x |

heisst nichts anderes als

| x | = x, x > 0

| x | = - x, x < 0

x

ZAceZe aktiv_icon

18:30 Uhr, 17.01.2010

Okay, ich muss wohl doch die ganze Aufgabe aufschreiben. Und zwar ist die Ableitung von

| x |

in der p-Norm nach der ersten Komponente gesucht.

| x |

in der p-Norm kann man ja auch umschreiben in \

[

(|x_1|^p+...+|x_n|^p)]^1/p
Im Tutorium kommt als Lösung \|x_1|^(p-2)*x_1*|x|^1-p, wobei das letzte

| x |

in der wieder in der p-Norm ist.
Ich weiß allerdings nicht wie man auf diese Lösung kommt und hoffe, es kann mir jemand erklären.
Hoffentlich kann man die Formeln halbwegs lesen, aber der Formeleditor funktioniert bei mir irgendwie nicht...

onkelbenz aktiv_icon

10:57 Uhr, 18.01.2010

Für formeleditor musst du java in deinem Browser aktivieren

Bei opera wäre es Extras -> einstellungen -> erweit -> inhalte

Von irgendwelchen p norm habe ich keine Ahnung

pwmeyer aktiv_icon

12:12 Uhr, 18.01.2010

Hallo,

es geht um die Ableitung nach

x_{1}

von

[{| x_{1} |}^{p} + . .

+ {| x_{n} |}^{p}]^{\frac{1}{p}}

?

Das wäre:

\frac{1}{p} \cdot {[...]}^{\frac{1}{p} - 1} \cdot p \cdot {| x_{1} |}^{p - 1} \cdot \frac{x_{1}}{| x_{1} |}

Dabei wird zweimal die Kettenregel benutzt und dann die Ableitung für den Betrag:

| x |' = \frac{x}{| x |},

denn das ist gerade 1 für

x > 0

und

- 1

für

x < 0

.

Gruß pwm

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