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Ableitung per Induktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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15:22 Uhr, 03.12.2015

Servus,

meine Frage: Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen

ℝ \in x \mapsto x^{n} \in ℝ

mit

n \in ℕ 0

(Also einschließlich der 0).....die anderen Funktionen will ich dann alleine lösen. Uns wurde empfohlen diese Aufgabe durch vollständige Induktion zu lösen.

Mir ist klar, dass die Ableitung von

x^{n}

eben

n \cdot x^{n - 1}

ist. Allerdings weiß ich nicht ganz wie ich bei der Induktion vorgehen soll. (Bin mit Induktionsbeweisen ohnehin noch nicht gut.) Durch die Induktion zeige ich dann ja quasi alle Ableitungen?

Folgendes würde ich jetzt probieren....

x^{n}

abgeleitet ist

n \cdot x^{n - 1}

IA:

n = 1

(Hier eine Zwischenfrage, da in der Aufgabe steht

ℕ

einschließlich der 0 muss ich dann beim Induktionsanfang mit 0 anfangen? Weil mit 1 oder zwei... fänd ichs halt irgendwie einfacher. Wie müsste es denn mit 0 aussehen?)

Also angenommen

n = 1

ist ok, dann ist die Abl. von

x^{1} = 1 \cdot x^{0} = 1 \cdot 1 = 1

Dann bräuchte ich eine Induktionsbehauptung....was ich hier behaupten soll weiß ich jedoch nicht ;-)

Im IS würde ich jetzt sagen:

n + 1 ...

x^{n + 1} = x^{n} \cdot x ... (x^{n} \cdot x)' = n \cdot x^{n - 1} \cdot 1 = n \cdot x^{n - 1}

bzw. wenn ich sage

x^{n} \cdot x

muss ich dann nicht sagen,

g' \cdot h + g \cdot h'

?

oder ich könnte sagen

(x^{n + 1})' = (n + 1) \cdot x^{n}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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15:30 Uhr, 03.12.2015

Ja, Du musst die Regel

g^{ʹ} h + g h^{ʹ}

nutzen.

Und bei Null ist es auch einfach:

(x^{0})^{ʹ} = 1^{ʹ} = 0

, denn

x^{0} = 1

(Konstante).
Allerdings kannst auch bei

1

starten, denke ich.

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15:55 Uhr, 03.12.2015

Dann wäre mein Induktionsschritt:

(x^{n + 1})' = (x^{n} \cdot x)' = n \cdot x^{n - 1} \cdot x + x^{n + 1} \cdot 1 = n \cdot x^{n} + x^{n + 1}

und damit wäre ich fertig?

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16:08 Uhr, 03.12.2015

Das ist nicht ricntig. Woher hast Du

x^{n + 1}

rechts? Kontrolliere die Rechnung.

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16:09 Uhr, 03.12.2015

Hups....rechts müste es

x^{n}

sein. Würd ich behaupten

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17:13 Uhr, 03.12.2015

Am Ende muss ja

(n + 1) x^{n}

stehen.

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17:28 Uhr, 03.12.2015

Mich irritiert gerade folgendes....wenn ich über

g' \cdot h + g \cdot h'

gehe, dann verstehe ich nicht wie am Ende

(n + 1) x^{n}

rauskommen soll.

Wenn ich aber

x^{n + 1}

nicht umforme und deshalb nicht

g' \cdot h + g \cdot h'

anwende, dann könnte ich ja gleich sagen

(n + 1) x^{n}

,wie im ersten Post ganz unten. Aber es kann doch nicht sein das ich zwei verschiedene Ergebnisse bekommen würde.

Es ist ganz klar das ich hier irgendwas gerade nicht verstehe...Kannst du mir das mit der Induktion an dieser Stelle kurz erklären? Ich hab das bist jetzt auch nur für irgendwelche Aufgaben mit Summen gemacht.
Woran würde ich denn erkennen ob ich es richtig gemacht habe?

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17:55 Uhr, 03.12.2015

Deine Rechnung von oben ergibt doch gerade

(n + 1) x^{n}

(richtig durchgeführt):

(x^{n + 1})^{ʹ} = (x^{n} \cdot x)^{ʹ} = (x^{n})^{ʹ} \cdot x + x^{n} \cdot x^{ʹ} = n x^{n - 1} \cdot x + x^{n} \cdot 1 = n x^{n} + x^{n} = (n + 1) x^{n}

.

Und frag bitte nicht, warum

n x^{n} + x^{n} = (n + 1) x^{n}

. ;-)

Husteguzel aktiv_icon

18:39 Uhr, 03.12.2015

Ja stimmt ich bin einfach nur deppert....

Bei der Induktionsannahme bräuchte ich aber noch Hilfe ;-)
Und gibt es ne Möglichkeit zu erkennen ob man die Induktion richtig gemacht hat?

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18:44 Uhr, 03.12.2015

"Bei der Induktionsannahme bräuchte ich aber noch Hilfe"

Welche?

"Und gibt es ne Möglichkeit zu erkennen ob man die Induktion richtig gemacht hat?"

Gibt es im Leben überhaupt eine Möglichkeit zu erkennen ob man etwas richtig gemacht hat? Würde ich gerne wissen. :-)

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20:02 Uhr, 03.12.2015

Naja

42

:-P)

Ich dachte ich muss nach dem Induktionsanfang noch eine Induktionsbehauptung aufstellen damit alles vollständig ist. Also quasi eine Schlussfolgerung aus dem Induktionsanfang. Sowas wie es existiert ein

n \in ℕ

mit

n > 1

für das gilt.....

Bei manchen hab ich auch gesehen das sowas am Ende kommt. Also ein Induktionsschluss oder sowas

Ich dachte sowas muss immer rein?

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20:06 Uhr, 03.12.2015

Du hast es aber. Vielleicht nur nicht deutlich genug.

Es muss so aussehen.
1. Induktionsbasis (oder Anfang): Beweis der Formel für ein Startwert

n_{0}

(meistens

0

oder

1

.
2. Indukstionsschritt. Man macht die Annahme: die Formel gilt für

n

(oder für alle

k

bis einschließlich

n

) und folgert daraus die Formel für

n + 1

.

Diese Induktionsannahme ist in Deinem Fall

(x^{n})^{ʹ} = n x^{n - 1}

und sie wird beim Induktionsschritt auch benutzt.

Husteguzel aktiv_icon

20:33 Uhr, 03.12.2015

Ok, dann hab ichs ja eigentlich gemacht und es nur nicht bemerkt.

vielen Dank für die Hilfe :-)

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