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Ableitung und Ableitungsfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: geometrische bedeutung

Maria222 aktiv_icon

20:41 Uhr, 18.09.2014

Hallo!

Das Schuljahr hat begonnen und wir wiederholen ein bisschen was vom letzten Jahr.. Ich bin Schülerin eines Gymnasiums, Jgs

1

in BW und wir nehmen gerade erneut die Ableitung sowie die Ableitungsfunktion durch.
Ich komm bei einer wahrscheinlich sehr einfachen Aufgabe nicht weiter und würde mich sehr über Hilfe freuen, um mein Gehirn ein bisschen auf zu frischen und auf die Sprünge zu bringen!!!

Aufagabe: Bestimmen Sie mithilfe des Graphen von

f

folgende Zahlen. Erläutern Sie die geometrische Bedeutung.

a

f (5)

und

f (3)

b

f (5) - f (3)

c

f (5) - \frac{f (3)}{5} - 3

d

f

(5)

a

f (5) = 2,2

f (3) = 1,7

b

. ?

c

. ?

d .) . .

. die Ableitung von einer Funktion krieg ich hin, aber was ich hier machen soll... ich hab so viele Lücken grad!

Danke jetzt schon mal für eure Hilfe!
Maria.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Ma-Ma aktiv_icon

20:53 Uhr, 18.09.2014

f (5)

heisst: Welchen Wert hat

y

bei

x = 5

Maria222 aktiv_icon

20:54 Uhr, 18.09.2014

ja, das habe ich ja hingeschrieben .. und der Rest?

Ma-Ma aktiv_icon

20:56 Uhr, 18.09.2014

b)

Da sind zwei y-Werte voneinander zu subtrahieren

. .

Maria222 aktiv_icon

20:57 Uhr, 18.09.2014

das heißßt

f (5) - f (3) = 0,5

Was ist die geometrische Bedeutung hiervvon?

Maria222 aktiv_icon

21:00 Uhr, 18.09.2014

Somit gilt für die

c

\frac{0,5}{2}

und das ergibt logischerweise

0,25 .

. richtig soweit?

Ma-Ma aktiv_icon

21:03 Uhr, 18.09.2014

Differenz zwischen den Funktionswerten bei

x = 5

und

x = 3

\to

daraus lässt sich die Steigung berechnen.

Beispiel:
x-Achse ist Zeitachse

t

.
y-Wachstumshöhe eine Pflanze in cm.

f (5) - f (3) =

Wachstumsdifferenz

(Δ y)

Zwischen dem 3. und 5. Tag ist die Pflanze um

0,5

cm gewachsen.

Maria222 aktiv_icon

21:06 Uhr, 18.09.2014

leuchtet ein. ist das dann auch die geometrische Bedeutung??

Ma-Ma aktiv_icon

21:09 Uhr, 18.09.2014

Mir persönlich fällt keine andere ein

. .

. ist eine Differenz, mit der man die MITTLERE Steigung berechnen kann.

m = \frac{Δ y}{Δ x}

Ma-Ma aktiv_icon

21:10 Uhr, 18.09.2014

Jetzt zu

c)

Das sieht sehr komisch aus.
Zeige doch bitte mal die Originalaufgabenstellung als Bild. Danke.

Maria222 aktiv_icon

21:14 Uhr, 18.09.2014

Ok.. hier ist ein Bild!

Ma-Ma aktiv_icon

21:28 Uhr, 18.09.2014

Jetzt sieht

c)

doch schon viel schöner aus.

m = \frac{Δ y}{Δ x}

Δ y

ist die Differenz der y-Werte.

Δ x

ist die Differenz der x-Werte.

Jetzt kannst Du die (mittlere) Steigung zwischen

x = 3

und

x = 5

berechnen

. .

Maria222 aktiv_icon

21:31 Uhr, 18.09.2014

Wieso ist das ebenfalls die mittlere Änderungsrate??

Ma-Ma aktiv_icon

21:40 Uhr, 18.09.2014

Ja, die mittlere Änderungsrate zwischen

x = 3

und

x = 5

beträgt

0,25

.

Unser Beispiel:
Vom 3. zum 4.Tag wächst die Pflanze

0,25

cm.
Vom 4. zum 5.Tag wächst die Pflanze

0,25

cm.

Innerhalb dieser 2 Tage ist sie also um

0,5

cm gewachsen.

- - - - - - - - - - - - - - - -

Im Graphen siehst Du allerdings, dass die Pflanze vom 3. zum 4. Tag SCHNELLER wächst, als vom 4. zum 5.Tag. Dieses Verhalten wird in der MITTLEREN Steigung nicht berücksichtigt.
Da kommt dann die momentane (lokale) Änderungsrate (Steigung) ins Spiel

. .

Maria222 aktiv_icon

21:44 Uhr, 18.09.2014

okei.. ich erinnere mich grob.
Und was ist mit der

d

. ?
was ist die Ableitung von

f (5) .

2,2

Ma-Ma aktiv_icon

21:55 Uhr, 18.09.2014

In der Ast steht

f' (5)

f' (x) =

Steigung der Tangente bei

x = 5

Zeichne bei

x = 5

eine Tangente an den Graphen und bestimme deren Steigung.
Entweder durch Steigungsdreieck oder durch den Winkel.
Beachte

m = tan α

Maria222 aktiv_icon

21:57 Uhr, 18.09.2014

Man muss das doch auch rechnerisch lösen können.. ich mein wenn ich

f (9) = 2 x^{4}

habe dann ist

f

(9) = 8 x^{3}, r i c h t i g ?

Wie siehts bei

f

(5) a u s ? ? ?

Ma-Ma aktiv_icon

22:06 Uhr, 18.09.2014

Bei Deinem Bild ist als Graph nur

f (x)

angegeben.
Ohne Funktionsangabe kann man NICHT rechnen, sonder nur grafisch lösen.

Also grafisch

\to

Tangente bei

x = 5

einzeichnen und Steigung ermitteln.

- - - - - - - - - - - - - - - -

Wenn man GENAU hinschaut, so sieht man das der Graph

f (x) = \sqrt{x}

lautet.

f' (5)

können wir dann auch RECHNERISCH ermitteln.

f (x) = \sqrt{x}

f' (x) = . .

. ?

- - - - - - - - - - - -

(Du hast bei der Ableitung immer das "Strich" hinter dem

f

vergessen.)

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