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Ableitung von Brüchen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

JiniBla aktiv_icon

19:40 Uhr, 21.04.2017

Hallo,

ich studiere Wirtschaftsrecht und muss dazu den Kurs "Einführung in die VWL" absolvieren. Im Rahmen dessen muss ich einen mathematischen Teil bestehen. Ich hab also nicht so viel Ahnung von Mathe.

Die grds Ableitungsregeln kann ich denke ich gut. Bei dieser Ableitung hab ich aber enorme Probleme.

f (x, y) = \frac{(y + 1) \cdot x^{2}}{x - 1}

Das ich hier

x

und

y

hab irritiert mich.
Gehe ich richtig davon aus, dass ich

y

beim Ableiten wie eine Konstante behandeln muss?

Jetzt weiß ich nicht genau ob ich die Quotientenregel anwenden soll oder den Bruch umschreibe und die Produktregel anwende?

Ich hab mich für zweiteres entschieden:

\frac{n}{x^{m}} = n \cdot x^{- m}

Also

(y + 1) \cdot x^{2} \cdot {(x - 1)}^{- 1}

Muss ich dann

u

ausrechnen bevor ich die Produktregel anwende? Sonst hätte ich ja zwei Multiplikationen?

f (x, y) = (y \cdot x^{2} + x^{2}) \cdot {(x - 1)}^{- 1}

Aber was ist dann jetzt mit der Potenz beim zweiten Faktor? Da müsste ich ja dann zum Ableiten die Kettenregel anwenden? Kann das sein?

Dann hätte ich:

u' = 2 y \cdot x + 2 x

v' = - 1 \cdot {(x - 1)}^{- 2}

= {(- x + 1)}^{- 2}

Eingesetzt in meine Produktregel:

f' (x, y) = (2 y \cdot x + 2 x) \cdot {(x - 1)}^{- 1} + {(- x + 1)}^{- 2} \cdot (4 x^{2} + x^{2})

Und falls das bis jetzt richtig war hackt es jetzt.

Wie rechne ich den ersten Teil aus? Da steht ja

- 1

im Exponenten?

Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

21:04 Uhr, 21.04.2017

.
vorweg :

\to f (x, y)

ist eine Funktion , die von zwei unabhängigen Variablen abhängt.

\to

da kannst du nachher nicht einfach

f' (x, y)

schreiben

. .

.

also :

f (x, y) = \frac{(y - 1) \cdot x^{2}}{x - 1}

f (x, y) = (y - 1) \cdot x^{2} \cdot {(x - 1)}^{- 1} . .

. und jetzt NICHT ausmultiplizieren

du kannst nun "partielle" Ableitungen berechnen (schlag das mal nach!)
.. dabei wird jeweils eine der Variablen wie eine Konstante behandelt:

\frac{\partial f}{\partial x} = (y - 1) \cdot [2 x \cdot {(x - 1)}^{- 1} + x^{2} \cdot (- {(x - 1)}^{- 2})]

und da hast du dann anschliessend einen Fehler gemacht:
das " - " kannst du nicht in die Klammer

{(x - 1)}^{- 2}

hineinrechnen (warum nicht??)

andere Schreibweisen:

\frac{\partial f}{\partial x} = (y - 1) \cdot [\frac{2 x}{x - 1} - \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}]

\frac{\partial f}{\partial x} = (y - 1) \cdot [\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}]

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(y - 1) \cdot x \cdot (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

die partielle Ableitung nach

y

ist einfach

\to

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2}}{x - 1}

FERTIG !
also: die Summenbildung bringt dann absolut nichts Sinnvolles mehr.

.

ledum aktiv_icon

22:52 Uhr, 21.04.2017

Hallo
es kommt aber auf die genaue Frage an:

a)

bestimme die partiellen Ableitungen

b)

bestimme das totale Differential

c)

vielleicht auch bestimme grad

f (x, y)

oder

\nabla f (x, y)

bei zukünftigen Fragen bitte immer den Originaltext der Aufgabe.
Gruß ledum

JiniBla aktiv_icon

10:49 Uhr, 22.04.2017

Vielen Dank für die Hilfe schonmal vorab, Rundblick & ledum!

Und ledum, ja absolut richtig, die Frage hätte ich mir vor allem durchlesen sollen! Ich bin direkt ans ableiten gegangen, weil die Überschrift schon so hieß!

"Ermitteln Sie die Ableitung nach

x

für folgende Funktionen" war die Frage.

D . h

. partiell nach

x

. In dem Tutorium, von dem ich das Übungsblatt hab, wurde leider überhaupt nichts von partiellen Ableitungen erwähnt (aber ich glaube in der Vorlesung ist es vorgekommen).

Die Lösung zur Aufgabe die mir vorliegt ist allerdings noch anders als die Lösung die wir hier haben... (Oder ich bin zu doof das umzuformen so dass es zur Lösung auf dem Blatt passt)

\frac{x \cdot (y \cdot x + x - 2 y - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

Also damit ich es verstehe noch mal zu meinem Rechenweg wie ich die Aufgabe löse:

Umschreiben der Funktion:

f (x, y) = (y - 1) \cdot x^{2} \cdot {(x - 1)}^{- 1}

Anwendung der Produktregel:
Ich hab gelesen, dass ich bei mehreren Faktoren dann zwei wie einen behandeln soll, also nehme ich die ersten beiden als

u

und den letzten als

v

u' = 2 x

v' = - 2 x \cdot {(x - 1)}^{- 2}

Der Zähler bei der Produktregel ist mir dann relativ klar, aber der Nenner nicht. Das ist ja

v^{2},

wie quadriere ich das denn dann, weil da steht ja die

- 1

im Exponenten?

\frac{2 x {(x - 1)}^{- 1} + (- 2 {(x - 1)}^{- 2}) \cdot (y - 1) \cdot x^{2}}{{({(x - 1)}^{- 1})}^{2}}

Meine konkrete Frage:
Was tue ich, wenn ich einen Faktor mit

- 1

im Exponenten habe, wenn ich diesen quadrieren muss?

Ist das bis hier hin schon mal richtig?

Noch mal

1000

Dank für die Hilfe!!

Enano

12:39 Uhr, 22.04.2017

Produktregel:

y = u (x) \cdot v (x) \Rightarrow

y´= u´(x)

\cdot v (x) + u (x) \cdot

v´(x) , also:

u = x^{2} \Rightarrow

u´=

2 x

v = {(x - 1)}^{- 1} \Rightarrow

v´=

- {(x - 1)}^{- 2}

Wie kommst du bei v´auf den Faktor

2 x

und wieso steht im Nenner

v^{2}

?

"Was tue ich, wenn ich einen Faktor mit −1 im Exponenten habe, wenn ich diesen quadrieren muss?"

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n},

also

z . B

{(a^{- 1})}^{2} = a^{- 1 \cdot 2} = a^{- 2}

Aber diese Rechenregel brauchst du hier doch gar nicht anzuwenden.

JiniBla aktiv_icon

14:06 Uhr, 22.04.2017

Ok, da hab ich Produktregel & Quotientenregel gemixt und irgendwas bei

v'

irgendwas falsch gerechnet...

Aber ich komm einfach nicht drauf. Ich verstehe was

u, u', v

und

v'

sind und ich kenne die Produktregel, aber ich scheine irgendwas immer wieder falsch einzusetzen?

u = (y - 1) \cdot x^{2}

u' = 2 x

v = {(x - 1)}^{- 1}

v' = - {(x - 1)}^{- 2}

Produktregel=

u' (x) \cdot v (x) + v' (x) \cdot u (x)

Eingesetzt wäre das:

2 x {(x - 1)}^{- 1} - {(x - 1)}^{- 2} \cdot (y - 1) \cdot x^{2}

Aber das stimmt nicht (sagt jedenfalls so ein online Rechner).

Was mach ich da falsch? Ich komm einfach nicht drauf!

: (

JiniBla aktiv_icon

14:27 Uhr, 22.04.2017

Ok, ich hab gerade gemerkt wo ein Fehler lag: Ich hatte die ganze Zeit einen Vorzeichenfehler in der Funktion.
Allerdings komme ich trotzdem an genau dem gleichen Punkt nicht weiter.

f (x, y) = \frac{(y + 1) \cdot x^{2}}{x - 1}

u = (y + 1) \cdot x^{2}

u' = 2 x

v = {(x - 1)}^{- 1}

v' = - {(x - 1)}^{- 2}

Jetzt wende ich die Produktregel an, also

u' \cdot v + v' \cdot u

2 x \cdot {(x - 1)}^{- 1} - {(x - 1)}^{- 2} \cdot (y + 1) \cdot x^{2}

Bei der Produktregel ist eigentlich

+,

da mein v# aber ja ein negatives Vorzeichen hat, ist es dann Minus...

Laut dem Online Rechner aber nicht äquivalent mit der Lösung, also nicht richtig.
Wo ist da mein Fehler??

Enano

14:43 Uhr, 22.04.2017

Weil nach

x

abgeleitet werden soll, wird

y

wie eine Konstante behandelt,

d . h

y + 1

wird nicht einbezogen in die Ableitung, so dass anschließend die gesamte Ableitung mit

y + 1

multipliziert wird und nicht nur
v´(x)

\cdot u (x),

also

\frac{d}{d x} [(y + 1) \cdot x^{2} \cdot {(x - 1)}^{- 1}] = (y + 1) \cdot \frac{d}{d x} [x^{2} \cdot {(x - 1)}^{- 1}]

Aber Rundblick hat das doch eigentlich schon alles vorgerechnet.

JiniBla aktiv_icon

14:59 Uhr, 22.04.2017

Hallo Enano,

danke für deine Antwort!
Ich hab eben keine Ahnung mehr von Mathematik, das letzte Mal, dass ich mich mit sowas befasst habe ist mittlerweile über

10

Jahre her! Daher steh ich etwas auf dem Schlauch, sorry

: (

Ich hab das jetzt soweit nachvollziehen können (glaube ich). Und bin auch selber jetzt auf das richtige Ergebnis gekommen.
Aber eins ist mir noch nicht klar.

Wenn

y

wie eine Konstante behandelt wird, warum wird dann mit

(y - 1)

alles multipliziert? Also warum wird die Konstante nicht mit abgeleitet und fällt dann weg? (So wie wenn sie eine Zahl wäre)?

Hat das was mit partiellen Ableitungen zu tun? Ich dem Tutorial was ich mir angesehen hab ist die variable die als Konstante behandelt wurde dann immer einfach weggefallen

(,

weil sie wie eine Zahl behandelt wurde).

Enano

15:10 Uhr, 22.04.2017

"Also warum wird die Konstante nicht mit abgeleitet und fällt dann weg? (So wie wenn sie eine Zahl wäre)?"

Angenommen,

y

wäre 2 und du betrachtest nur den Zähler, dann steht dort:

(2 + 1) \cdot x^{2} = 3 \cdot x^{2}

Wenn du das nach

x

ableitest, erhältst du:

2 \cdot 3 \cdot x = 6 x

Der Faktor 3 ist also keineswegs weggefallen.

Wenn du aber

3 + x^{2}

nach

x

ableiten würdest, dann hättest du Recht.

Atlantik aktiv_icon

15:18 Uhr, 22.04.2017

f (x, y) = \frac{(y - 1) \cdot x^{2}}{x - 1}

f (x, y) = \frac{y \cdot x^{2} - x^{2}}{x - 1}

Nun mit der Quotientenregel ableiten:

\frac{ϑ f}{ϑ x} = \frac{(2 x y - 2 x) \cdot (x - 1) - (y \cdot x^{2} - x^{2}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

\frac{ϑ f}{ϑ x} = \frac{2 x^{2} y - 2 x y - 2 x^{2} + 2 x - y \cdot x^{2} + x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

\frac{ϑ f}{ϑ x} = \frac{x^{2} y - 2 x y - x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

mfG

Atlantik

JiniBla aktiv_icon

15:19 Uhr, 22.04.2017

1000

Dank!

Ich glaube jetzt hab ich es verstanden :-)

Falls jemand anders mal die gleichen Denkblockaden wie ich hat:
Dieses Video hier fand ich wirklich sehr gut in der Erklärung (und viel besser als das erste Tutorial das ich mir angesehen hab).

www.youtube.com/watch?v=MlsDNt3b0VQ

Ich bedanke mich nochmals bei allen die mir geholfen haben! :-)

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