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Ableitung von Funktionen mit matrix argumenten

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Differentiation

Funktionalanalysis

Matrizenrechnung

Tags: Differentiation, Funktionalanalysis, Matrizenrechnung

 
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predaderp

predaderp aktiv_icon

11:45 Uhr, 06.07.2020

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Hallo !
Ich habe eine Funktion definiert f:ℝn,n×ℝn,n↦ℝn,n wobei f(X,Y)=Xp-Yq , p,q∈ℕ.
Nun bräuchte ich Ableitung nach Y Komponente an der Stelle In,In ausrechnen, also DfY(In,In)

Wir haben nie mit Funktionen gearbeitet die Matrizen als Argumente haben bzw mussten die nicht ableiten. Ich habe zwar ein satz für k-lineare Abbildungen im Skript gefunden aber der macht für mich kein Sinn wenn ich ihn hier anwende.

Könnte vielleicht jemand dazu was sagen?)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:24 Uhr, 06.07.2020

Antworten
Ableitung ist allgemein einfach die lineare Annäherung, also gilt
f(x+h)=f(x)+fʹ(x)h+o(h), wobei o(h) "wesentlich kleiner als h, wenn h klein" bedeutet, salopp gesprochen.
Ob jetzt x ein Punkt, ein Vektor, eine Matrix oder was auch immer ist, spielt keine Rolle, das Allgemeinprinzip bleibt.

Für deinen Fall muss also gelten F(In,In+H)=F(In,In)+Fʹ(In,In)H+o(H), wo In die Einheitsmatrix ist und H irgendeine Matrix.
Konkret hast du dann Inp-(In+H)q=Inp-Inq+Fʹ(In,In)H+o(H).
Wenn du (In+H)q nach der binomischen Formel ausmultiplizierst, wird daraus
-qH-q2H2-...=+Fʹ(In,In)H+o(H), was zu Fʹ(In,In)=-qIn führt.
Frage beantwortet
predaderp

predaderp aktiv_icon

14:45 Uhr, 06.07.2020

Antworten
Vielen Dank!