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Ableitung von sin x mit Umkehrregel

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

mucki64 aktiv_icon

15:01 Uhr, 18.03.2016

zu zeigen:

(sin (x))' = cos (x)

gegeben: arcsin'(x)

= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Die folgende Umformung kann ich nicht nachvollziehen (hier sollte die Umkehrregel helfen):

sin' (x) = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - sin ({(x)}^{2})}}}

Dann ist der "trigonometrische Pythagoras" anzuwenden:

{(sin (x))}^{2} + {(cos (x))}^{2} = 1

sin' (x) = \frac{1}{\frac{1}{{\sqrt{cos (x)}}^{2}}} = cos (x)

Die Umkehrregel:

f^{- 1}' (y) = \frac{1}{f^{- 1} (f (y))} = \frac{1}{f (x)'}

Ansatz unvollständig: arcsin'(x)

= f^{- 1}' (y), sin' (x) = f (x)'

wer weiß weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DerDepp aktiv_icon

15:36 Uhr, 18.03.2016

Hossa :-)

Die Formel für die "Umkehrregel" fördert leider kaum das Verständnis für das Wesentliche. Ich probiers mal zu beschreiben. Die "Umkehrregel" lautet:

{(f^{- 1} (y))}^{'} = \frac{1}{f^{'} (x)}

Einfacher geschrieben mit

y (x) = f (x)

bzw.

x (y) = f^{- 1} (y)

x^{'} (y) = \frac{1}{y^{'} (x)}

Oder noch anschaulicher mit Differentialen:

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = {(\frac{d y}{d x})}^{- 1}

In deinem konkreten Beispiel hilft das dann wie folgt:

y (x) = \arcsin (x); \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}};

Umkehrfunktion:

x (y) = \sin (y)

\frac{d}{d y} (\sin y) = \frac{d x}{d y} = {(\frac{d y}{d x})}^{- 1} = {(\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}})}^{- 1} = \sqrt{1 - x^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2} y} = \sqrt{\cos^{2} y} = \cos y

mucki64 aktiv_icon

19:36 Uhr, 19.03.2016

Danke, die Schreibweise mit

\frac{d x}{d y}

und

y (x)

ist übersichtlicher als

(f')

und

(f^{- 1})

1296850

1296682

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