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Ableitung von x^sin(x)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

JasonD aktiv_icon

16:59 Uhr, 17.06.2009

Hallo ich hätte gern den Lösungsweg für die Ableitung von

$x^{\sin (x)}$

Also mein Ansatz war, die Kettenregel:

$u^{'} (v (x)) * v^{'} (x)$

Dann hätt ich für

$u (x) = x^{x} v (x) = \sin (x) u^{'} (x) = e^{x * \log (x)} v^{'} (x) = \cos (x)$

Muss ich für u' nochmal die Kettenregel anwenden, oder wie gehts jetzt weiter. Bin sehr verwirrt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

HP7289 aktiv_icon

17:18 Uhr, 17.06.2009

y = x^{sin (x)}

ln (y) = sin (x) \cdot ln (x)

\frac{y'}{y} = \frac{sin (x)}{x} + cos (x) \cdot ln (x)

y' = y \cdot (\frac{sin (x)}{x} + cos (x) \cdot ln (x))

y' = x^{sin (x)} \cdot (\frac{sin (x)}{x} + cos (x) \cdot ln (x))

JasonD aktiv_icon

17:43 Uhr, 17.06.2009

Irgendwie ist mir diese Art das zu Rechnen nicht geläufig.

Trodtzdem Danke.

HP7289 aktiv_icon

17:44 Uhr, 17.06.2009

Ich kenne keinen, der, ohne diese Vorgehensweise zu kennen, diese Funktion hätte ableiten können. Merk dir den Trick einfach. ;-)

JasonD aktiv_icon

18:03 Uhr, 17.06.2009

Ich versteh nur den zweiten Teil nicht ganz? ln(y) = sin(x)*log(x)

Wenn ich das begreife dann werd ich den Trick wohl öfters anwenden, da er viel einfacher ist als das was wir beigebracht bekommen haben.

HP7289 aktiv_icon

18:05 Uhr, 17.06.2009

Du logarithmierst auf beiden Seiten und leitest dann im nächsten Schritt nach

x

ab.

JasonD aktiv_icon

18:09 Uhr, 17.06.2009

Ok,Danke :-)

m-at-he

23:16 Uhr, 17.06.2009

Hallo HP7289,

"Ich kenne keinen, der, ohne diese Vorgehensweise zu kennen, diese Funktion hätte ableiten können."

Dein Weg ist, der Funktion eine geeignete "Oberfunktion überzustülpen" und dann notgedrungen beide Seiten abzuleiten. Es gibt noch einen anderen Weg, die Funktion einfach umzuformen, ohne sie inhaltlich zu verändern. Das erreicht man durch Addition von Null (man addiert etwas geeignetes und zieht es gleich wieder ab), Multiplikation von Eins (man multipliziert etwas geeignetes und dividiert damit gleich wieder),

. .

. , man wendet eine geeignete Funktion an und gleich darauf wieder die umgekehrte Funktion. Hier mach man letzteres:

x^{sin (x)} = e^{ln (x^{sin (x)})} = e^{sin (x) \cdot ln (x)}

Diese Funktion ist mit den elementaren Mitteln differenzierbar:

(e^{sin (x) \cdot ln (x)})' = e^{sin (x) \cdot ln (x)} \cdot (\frac{sin (x)}{x} + cos (x) \cdot ln (x)) = x^{sin (x)} \cdot (\frac{sin (x)}{x} + cos (x) \cdot ln (x))

So, jetzt kennst Du jemanden!

JasonD aktiv_icon

00:54 Uhr, 18.06.2009

Hey, Danke.

Den mittleren Teil:

$e^{\sin (x) * \ln (x)}$ ..

habe ich mit meiner Variante auch raus.

Wie kome ich dann aber wieder auf die: $x^{\sin (x)}$ ...am Ende?

m-at-he

01:22 Uhr, 18.06.2009

Hallo,

schau Dir bitte die erste Gleichung an!!!

JasonD aktiv_icon

14:33 Uhr, 18.06.2009

Ja, jetzt hab ich meinen Fehler. Danke.

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