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Ableitungen
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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anonymous 19:58 Uhr, 16.06.2004  |
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Wie bilde ich die Ableitung von cos^3 x und x^2/Cosx währe toll , wenn mir das jemand erklären könnte . |
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Hallo ich bin zwar auch nicht der Mathe Crack aber ich denke für dein Problem ist es wichtig das man weis cos^3 x = cos x * cos x * cos x nun kannst du die Produktregel anwenden. sin x * cos x * cos x + cos x * (sin x * cos x + cos x * sin x) sollte die Lössung sein. Bei x^2/Cosx kann man das ganze ha auch so schreiben e^ln(x^2/Cosx) mfg ME |
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anonymous 22:42 Uhr, 16.06.2004 |
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| wenn ich es so schreibe e^ln(x^2/Cosx) , was hilft mir das , dass verstehe ich nicht so ganz ? | |
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Hallo arzoo, 1.)cos^3 x Anstatt der Produktregel würde ich hier über die Kettenregel gehen: Definiere: (I) u(x):=x³ und (II) v(x):=cos(x) Dann folgt: u'(x)=3x², also: (i) u'(v(x))=3(v(x))²=3cos²(x) und (ii) v'(x)= - sin(x) Mit r(x):=u(v(x))=cos³(x) gilt nach der Kettenregel: r'(x)=u'(v(x))*v'(x), also mit (i) und (ii): r'(x)=3cos²(x)*( - sin(x)) = - 3sin(x)cos²(x) 2.) x^2/Cosx (Hierbei sollte man bei der 'Definition' dieser angegeben Funktion schon beachten, dass der Cosinus auch Nullstellen hat. Die Funktion f(x):=x²/cos(x) ist also nur auf M:=IR\{(pi/2)+(k*pi): k aus Z}, wobei Z:={ganze Zahlen}, definiert.) Sei also x aus M. Definiere (I') g(x):=x² und (II') h(x):=cos(x). Dann gilt für f(x)=x²/cos(x): f(x)=g(x)/h(x) Also ist (i')g'(x)=2x und (ii') h'(x) = -sin(x) Nach der Quotientenregel gilt (für x aus M): f'(x)=[g'(x)*h(x)-g(x)h'(x)]/h²(x), und mit (I'), (II'), (i') und (ii') folgt: f'(x) =[2x*cos(x)-x²*(-sin(x))]/cos²(x) =[2xcos(x)+x²sin(x)]/cos²(x) PS: 1.) Leitet man cos³(x) nach der Produktregel ab, so ergibt sich übrigens auch (ich schreibe das jetzt aus Platzgründen formal 'ungenau' und unterstelle einfach, dass der Leser weiß, wie das zu lesen ist ;-)): [cos³(x)]' =[cos(x)*cos²(x)]' = - sin(x)cos²(x)+cos(x)[cos²(x)]' = - sin(x)cos²(x)+cos(x)[cos(x)*cos(x)]' = - sin(x)cos²(x)+cos(x)[ - sin(x)cos(x)+cos(x)*( - sin(x))] = - sin(x)cos²(x)-2sin(x)cos²(x) = - 3sin(x)cos²(x) 2.) Die Voraussetzungen für die Anwendungen der Regeln (Quotientenregel/Kettenregel bzw. wegem dem PS: 1.) auch Produktregel) waren stets gegeben (bei der 2en Funktion war aber f(x)=x²/cos(x) nur auf der definierten Menge M definiert!). D.h. z.B. bei der Kettenregel: u(x):=x³ ist diff'bar auf ganz IR und auch v(x)=cos(x) ist diff'bar auf IR. Man solte immer beachten, dass für die Anwendung solcher Regeln ja gewisse Voraussetzungen gegeben sein müssen! Viele Grüße Marcel |
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anonymous 23:34 Uhr, 16.06.2004 |
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ich danke dir , wenn man mir es so erklärt kann ich es nach vollziehen , weiß nicht warum ich es aber alleine nicht hinkriege :( |
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Hallo arzoo, ich sage es mal so: Hast du z.B. irgendwo (...)^n stehen, dann denke zuerst an die Kettenregel. Das "Innere" ist das innere der Klammer, bei der Kettenregel ist die innere Funktion v(x). Hier wäre also v(x)=... u(x) würde man als x^n wählen (also u(x)=x^n), denn wenn man dann rechts das x durch v(x)=... ersetzt, dann erhält man: u(v(x))=(...)^n Bei der zweiten Aufgabe: x²/cos(x) Da steht ein Quotient zweier Funktionen. Also brauchst du eine Funktion, die den Zähler darstellen soll und eine andere, die den Nenner darstellen wohl. Hier ist die Wahl: g(x)=x² und h(x)=cos(x) offensichtlich, oder? Wenn du so etwas siehst: e^((x+1)^5), dann must du sehen: Da taucht (irgendwie) (die Funktion) e^x auf. (Gut, das ist nämlich auch einfach abzuleiten ;-)) Da taucht (irgendwie) (die Funktion) x^5 auf. (Auch nicht so schwer abzuleiten ;-)) Da taucht auch noch eine Funktion x+1 auf. (Auch einfach abzuleiten ;-)) Mit der Zeit solltest du einfach ein Gefühl dafür bekommen, wie man Verknüpfungen, die man sieht, auch hinschreibt. f(x)=e^((x+1)^5) Hm, wenn ich u(x)=e^x hätte, passt es (offenbar ;-)) noch nicht ganz. Wenn ich bei e^x aber anstatt x dann (x+1)^5 hinschreiben würde, dann ginge es. Also: u(x)=e^x und v(x)=(x+1)^5 werden definiert! Dann haben wir nämlich: u(v(x))=e^(v(x))=e^((x+1)^5) Würdest du das nun nach der Kettenregel ableiten, so bräuchtest du auch die Ableitung von v. Das ist jetzt aber schon sehr aufwendig, wollte man z.B. wieder über die Produktregel gehen. Wie bekäme man v denn (eleganter) abgeleitet? Naja, bei (x+1)^5 kann man ja einfach mal nur die "äußere" Funktion hinschreiben (also wieder ist die Idee: Kettenregel): x^5 Nenne diese mal g(x). Also: g(x)=x^5. Wie bekomme ich jetzt aus g die Funktion v gebastelt? (Erinnerung: Es war v(x)=(x+1)^5). Naja, wenn ich in g das x durch x+1 ersetze, dann steht es da. Also setze ich h(x)=x+1. Dann ist nämlich: g(h(x))=g(x+1)=(x+1)^5 Und ich kann v(x)=g(h(x)) wieder fröhlich nach der Kettenregel weiter ableiten. Und wenn du das nun tust, dann siehst du: Gott sei Dank, mehr Funktionen brauchen wir uns nicht mehr zu definieren ;-) Ich hatte mal so ein Übungsblatt gesehen: Schreibe als Verkettung von Funktionen: ... Leider weiß ich nicht mehr, wo. Denn das würde dir, denke ichg, sicherlich viel weiterhelfen. Sobald man erkennt: Aha, das ist doch ein Produkt von Funktionen: Definiere eine Funktion als den einen Faktor, die andere als den anderen Faktor: Beispiel: (für x > 0) f(x)=(1/x²)*ln(x) 1. Funktion: u(x):=(1/x²) 2. Funktion: v(x):=ln(x) Also: f=u*v ==> Ableitung nach Produktregel. Ich hoffe, das hilft dir wenigstens ein bisschen, aber ich denke, man bekommt auch mit der Zeit ein Gefühl dafür... Viele Grüße Marcel |
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Hallo nochmal, vielleicht helfen dir auch die paar Beispiele, die du bei den Regeln hier findest, weiter: www.integralgott.de/diffr/dregeleinf.htm Viele Grüße Marcel |
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Hallo nochmal, vielleicht helfen dir auch die paar Beispiele, die du bei den Regeln hier findest, weiter: www.integralgott.de/diffr/dregeleinf.htm Viele Grüße Marcel |
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Hallo nochmal, vielleicht helfen dir auch die paar Beispiele, die du bei den Regeln hier findest, weiter: www.integralgott.de/diffr/dregeleinf.htm Viele Grüße Marcel |
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Da hat mein Browser wohl mal wieder gesponnen und die Antwort dreimal geschickt :-( Zwei davon können gelöscht werden... |
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