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Ableitungen bilden Quotientenregel

Schüler Abendgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung.Quotientenregel, Term, Vereinfachung

Nedman aktiv_icon

21:07 Uhr, 06.10.2019

Guten Tag. Ich habe eine Frage bezüglich einer Ableitung. Spezifisch geht es um die Quotientenregel.

Folgende Gleichung ist gegeben:

f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

Diese soll differenziert werden.

Ich wende die Quotientenregel an.

f´(x)

= \frac{(1 \cdot \sqrt{x}) - (x + 1) \cdot 1}{2 x \cdot \sqrt{x}}

Nun versuche ich die Gleichung zu vereinfachen.
f´(x)=

\frac{\sqrt{x} - x - 1}{2 x \sqrt{x}}

Nun weiß ich nicht weiter. Vielleicht sehe ich es auch nur nicht, da ich im Umgang mit Gleichungen so meine Schwierigkeiten habe. Wenn also jemand einen Tipp hat, wie ich mir Gleichungen grundsätzlich so umsortieren kann, dass ich sie leichter durchschaue, der möge mir bitte helfen.
Oder habe ich vielleicht vom Grunde her einen Fehler im Verständnis, der Ausgeräumt werden muss?

Meine Gedanken sind folgende: Ich kann nichts wegkürzen weil ja oben nur eine Differenz steht.
Ich könnte nur aus einem Produkt kürzen.
Ist die Ableitung also somit fertig?

Oder schreibe ich gar die Wurzeln um?

f´(x)=

\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{1} - 1}{2 \cdot x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}}}

Dann käme auf f´(x)=

\frac{x^{\frac{1}{2}} - x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}

Könnte aber meiner Meinung nach im Zähler nichts mehr zusammenfassen.
Freue mich schon auf die Antworten, und natürlich auch auf Kritik.

M . f . G

Rico

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

abakus

21:16 Uhr, 06.10.2019

Deine Ableitung ist falsch. Richtig wäre

f ʹ (x) = \frac{\sqrt{x} - \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}}{x}

.
Die Anwendung der Quotientenregel ist so ziemlich das Ungeschickteste, was man hier machen kann. Vereinfache lieber zuerst die gegebene Funktion durch elementare Bruch- und Wurzelrechnung zu

f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}

und leite beide Summenden einzeln ab.

rundblick aktiv_icon

21:32 Uhr, 06.10.2019

.
"leite beide Summenden einzeln ab."

. .

. :-)

und ganz leise summe ich noch den Vorschlag :

f (x)

zuerst noch so zu notieren

\to f (x) = x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}

und schreib das Ergebnis nicht einzeln auf.
.

abakus

21:34 Uhr, 06.10.2019

Ja, so ist es noch besser.

Nedman aktiv_icon

18:21 Uhr, 09.10.2019

Tut mir leid aber ich verstehe die Vereinfachung der Gleichung nicht. Könntet ihr das noch mal erläutern?

supporter aktiv_icon

18:48 Uhr, 09.10.2019

\frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}

SmoothCriminal aktiv_icon

18:52 Uhr, 09.10.2019

Dein Weg ist ja gar nicht komplett falsch. Natürlich kann man die Funktion ganz normal nach Quotientenregel ableiten, auch, wenn man nach etwas Übung bei gebrochenrationalen Funktionen schnell sieht, dass ein Umgehen dieser Regel oft sinnvoll ist.

du hast

f' (x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x + 1) \cdot 1}{2 x \cdot \sqrt{x}}

Dein

v'

ist

\frac{1}{2 \sqrt{x}},

soweit richtig. Weil das oben aber ein Summand ist (bei

- u v'),

darfst Du es nicht direkt unter den Bruch schreiben, also muss es oben bleiben:

f' (x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x + 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{x}

Leider muss man für die Differenz im Zähler Minuend und Subtrahent gleichnamig machen, ergo:

f' (x) = \frac{\frac{1 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{(x + 1) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{x}}}{x}

= \frac{\frac{1 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (x + 1) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{x}}}{x}

= \frac{\frac{x - 1}{2 \cdot \sqrt{x}}}{x}

= \frac{x - 1}{2 x \cdot \sqrt{x}}

überlänge

SmoothCriminal aktiv_icon

18:53 Uhr, 09.10.2019

Man sieht also eindeutig, dass ein Umformen vorher die Sache vereinfacht:

f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}

\Rightarrow f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}

Natürlich sind die Lsungen gleich, das sieht man nach ein paar Umformungen:

f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x \cdot \sqrt{x}})

= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1 \cdot x}{\sqrt{x} \cdot x} - \frac{1}{x \cdot \sqrt{x}})

= \frac{1}{2} \cdot \frac{x - 1}{\sqrt{x} \cdot x}

Fazit: Übe ein bißchen, wie man die Quotientenregel umgehen kann. Wahrscheinlich fällt Dir das auch viel leichter, so dass Du bald schon supporters Lösungsweg beovrzugen wirst.

supporter aktiv_icon

18:54 Uhr, 09.10.2019

PS:
Quotientenregel:

u = x + 1 \to u' = 1

v = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \to v' = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}}

Nenner:

{(\sqrt{x})}^{2} = x

Nedman aktiv_icon

19:13 Uhr, 09.10.2019

Vielen Dank für die Antworten. Ja ich werde mich in der Tat noch mehr damit beschäftigen müssen. Aber gut Ding will Weile haben, zumindest gilt das für mich :-).

Nedman aktiv_icon

19:13 Uhr, 09.10.2019

Vielen Dank für die Antworten. Ja ich werde mich in der Tat noch mehr damit beschäftigen müssen. Aber gut Ding will Weile haben, zumindest gilt das für mich :-).

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