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Ableitungen höh. Ordnung - Multilineare Abb.

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Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Linear Abbildung, Sonstig

 
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Isaaabellll

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23:14 Uhr, 16.04.2018

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Hallo,

wie kann ich folgenden Satz zeigen?
Ich bin für jeden Vorschlag, Tipp, etc enorm dankbar:

Sei M:(Rn)kRm eine symmetrische k-multilineare Abbildung und sei

Mπ:RnRm mit Mπ(ξ):=M(ξ,ξ,...,ξ).

Zeige, dass die Abbildung Mπ beliebig oft differenzierbar ist.



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

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10:07 Uhr, 17.04.2018

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Hallo,

vorweg die Frage: Was heißt hier "symmetrisch"?

Ich würde zunächst einmal versuchen, die erste Ableitung zu bestimmen - und zwar anhand der Definition, die Du ja schon einmal in diesem Forum zitiert hast.

Gruß pwm
Isaaabellll

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19:48 Uhr, 17.04.2018

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Symmetrisch bedeutet, sei f:V×VW heißt symmetrisch, wenn f(v,w)=f(w,v).
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

23:07 Uhr, 17.04.2018

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könnte man das über Induktion zeigen?

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pwmeyer

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08:46 Uhr, 18.04.2018

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Hallo,

fang doch einfach mal mit der ersten Ableitung für den Fall k=2 an. Zu untersuchen ist dann

Mπ(x+h)-Mπ(x)=M(x+h,x+h)-M(x,x)

Wie kann man das jetzt mit Hilfe der Multilinearität umformen?

Gruß pw
Isaaabellll

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14:56 Uhr, 18.04.2018

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Etwa so:

M(x+h,x+h )− M(x,x)=M(x)+M(h)+M(x)+M(h)-M(x,x)
???
Isaaabellll

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17:43 Uhr, 18.04.2018

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Bitte um Entschuldigung, das kann nicht richtig sein, da x ein Vektor ist.

Also nochmal korrigiert:

Mπ(x+h,x+h )− Mπ(x,x)=Mπ(x+h)-Mπ(x). Wegen der Linearität von Mπ muss folgen

Mπ(x+h)-Mπ(x)=Mπ(x)+Mπ(h)-Mπ(x)=Mπ(h) für k=2

Wenn das so richtig ist, müsste bei der Multilinaerität zu dem obigen führen.
Das kann man doch mittels Induktion zeigen oder?
Warum muss die Symmetrie also sei f:V×VW heißt symmetrisch, wenn f(v,w)=f(w,v), vorausgesetzt werden?
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pwmeyer

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11:35 Uhr, 19.04.2018

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Hallo,

Du hast den Unterschied zwischen M und Mπ noch nicht verinnerlicht. Im Fall k=2 ist M eine bilineare Abbildung mit 2 Argumenten, jeweils aus dem n. damit ist definiert:

Mπ(x):=M(x,x)

Dann ist

Mπ(x+h)=M(x+h,x+h)=M(x,x+h)+M(h,x+h)=M(x,x)+M(x,h)+M(h,x)+M(h,h),

Die erste Umformung wegen der Linearität von M im ersten Argument, die zweite wegen der Linearität von M im zweiten Argument. Mπ ist selbst nicht linear.

Gruß pwm
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

14:29 Uhr, 19.04.2018

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Alles klar,
Jetzt ist mir die Beziehung klar. Vielen dank.
Ist der Beweis dann mittels Induktion zu zeigen, oder geht es auch anders?
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pwmeyer

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11:30 Uhr, 20.04.2018

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Hallo,

da höhere Ableitungen meist als Ableitungen vorhergehender Ableitungen definiert werden, bietet sich Induktion an.

Vielleicht solltest Du zunächst die erste und zweite Ableitung ausrechnen, um zu einem Ansatz für die Induktionsbehauptung zu kommen.

Gruß pwm
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