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Abschätzen von Termen bzw. Folgen/Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

TomJerryy aktiv_icon

21:53 Uhr, 14.01.2021

Hallo, ich bin verzweifelt dabei mir das Abschätzen von Termen beizubringen, um zb. Folgenkonvergenz zu beweisen oder das Majorant/Minoranten-Kriterium bei Folgen anzuwenden.
Mein Prof hat in seinen Vorlesungen einen großen Bogen darum gemacht.

Meine Frage ist, ob es allgemein gültige Regeln gibt, was man wie verändern darf.
Man kann ja zb. immer von

n

unabhängige Summanden weglassen um dann je nachdem wo diese standen (Zähler/Nenner) nach oben/unten abschätzen.

Danke schonmal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

JaBaa aktiv_icon

22:21 Uhr, 14.01.2021

Hallo,

ich weiß nicht was du hier als kompletten Lösungsweg erwartest, aber um Konvergenzkriterien wie das Majorantenkrterium anwenden zu können hilft natürlich nur Erfahrung und damit üben, üben und nochmals üben. Vielleicht kann ich dich beruhigen und dir sagen, dass in Klausuren(jedenfalls die die ich gesehen habe) meist einfache Reihen zur Abschätzung gegeben sind. Natürlich muss man den theoretischen Hintergrund drauf haben. Irgendwann hat man dann die Intuition und weiß ( bei einfachen Reihen ) wie man Konvergenz nachweist.

Es gibt natürlich auch ein paar Standardreihen die man leiht abschätze kann, dazu muss man natürlich auch die Standardreihen kennen mit denen man Abschätzen will.

Z . B

\sum_{n = 1}^{\infty} | cos (n) \cdot \frac{1}{n^{2}} | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{1}{n^{2}} |

Damit konvergiert auch schon die erste Reihe da eine konvergente Majorante gefunden wurde.

Es gibt noch ein paar Standardbeispiele, die kommen ja im Verlauf des Studiums oder werden sich bei dir noch festigen.

Viele Grüße

TomJerryy aktiv_icon

10:00 Uhr, 15.01.2021

Danke schonmal für die Antwort.
Ich glaube ich hab meine Frage etwas falsch formuliert. Mir geht es in erster Linie nicht um das Beweisen von Konvergenz oder Grenzwerten, das habe ich soweit verstanden. Ich habe Probleme mit dem Abschätzen während dem Rechenprozess.

Als Beispiel: (aus einer Diskussion hier auf dem Forum)

\frac{3^{n + 1} + 2^{n} + n}{4^{n^{2}} + 8^{n}} \leq \frac{3^{n + 1} + 2^{n} + n}{8^{n}} \leq \frac{3^{n + 1} + 3^{n} + 3^{n}}{8^{n}} \leq \frac{5 \cdot 3^{n}}{8^{n}} \to 0

Meine Fragen dazu:
1. Warum wird im Nenner

4^{n^{2}}

entfernt, obwohl dieser doch die höchste Potenz hat und somit in Sachen Grenzwert am meisten ins Gewicht fallen sollte.
2.Warum darf man vom (vom2. zum 3.Term) das letze

n

im Zähler einfach als Potenz schreiben.
3. Wie kommt man auf die Veränderung vom vorletzen zum letzten Term.

Ich bin schon die ganze Zeit verzweifelt am Üben und kann mittlerweile simple Abschätzungen auch sicher durchführen, doch bei solchen wie diesem Beispiel, steh ich total auf dem Schlauch.

HAL9000

10:12 Uhr, 15.01.2021

> 1. Warum wird im Nenner

4^{n^{2}}

entfernt, obwohl dieser doch die höchste Potenz hat und somit in Sachen Grenzwert am meisten ins Gewicht fallen sollte.

Alles richtig, was du hinsichtlich des größten Gewichtes sagst, aber: Die Abschätzung mit dem

8^{n}

klappt eben auch bereits hinsichtlich des Ziels "konvergente Majorante". Dass der somit abgeschätzte Term deutlich "langsamer" gegen Null konvergiert als es mit einer

4^{n^{2}}

-Abschätzung passiert wäre - geschenkt. ;-)

Du hast insofern Recht, dass man mit

2^{n}

statt

8^{n}

im Ausgangsterm nicht so schnoddrig hätte abschätzen dürfen, weil dann das Ziel verfehlt worden wäre.

> 2.Warum darf man vom (vom2. zum 3.Term) das letze n im Zähler einfach als Potenz schreiben.

Dem liegt die grobe Abschätzung

n \leq 3^{n}

zugrunde, die ist natürlich strenggenommen beweiswürdig, was aber kein gravierendes Problem ist, z.B. per Bernoulli-Ungleichung

(1 + 2)^{n} \geq 1 + 2 n > n

.

> 3. Wie kommt man auf die Veränderung vom vorletzen zum letzten Term.

Es ist

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}

und damit

3^{n + 1} + 3^{n} + 3^{n} = (3 + 1 + 1) \cdot 3^{n}

.

Zu beachten wäre bei der Ungleichungskette noch, dass nicht das abschließende

\to 0

maßgeblich für die Reihenkonvergenz ist (das ist ja nur das notwendige Kriterium), sondern eher sich das einen Schritt vorher ergebende

a \cdot q^{n}

mit

q = \frac{3}{8} < 1

, d.h., die Majorisierung durch eine konvergente geometrische Reihe.

Respon

10:23 Uhr, 15.01.2021

1) 4^{n^{2}}

"passt" nicht zu den anderen Potenzen.
Wenn ich bei einem Bruch den Nenner kleiner mache, so erhöht sich der Wert des Bruches.

2)

Wenn ich bei einem Bruch den Zähler größer mache, so erhöht sich der Wert des Bruches.

n < 3^{n}

und

2^{n} < 3^{n}

3) 3^{n + 1} + 3^{n} + 3^{n} = 3 \cdot 3^{n} + 3^{n} + 3^{n} = 5 \cdot 3^{n}

TomJerryy aktiv_icon

10:52 Uhr, 15.01.2021

Vielen, vielen Dank für die schnellen Antworten.
Das hat mir schon wirklich sehr weiter geholfen.

Nochmal aber zu meiner 2. Frage, ich dachte immer man darf nicht einfach so mit den Potenzen (wenn diese von

n

abhängig ist) "herumspielen" sonst könnte man ja auch einfach sagen:

\frac{n^{2} - 3}{n^{2} + 3} \leq \frac{n^{2} - 3}{n + 3},

das wäre ja rein theoretisch auch korrekt, würde aber das Konvergenzverhalten ja verändern.

Kann man also in etwa sagen, solange man das Konvergenzverhalten ("also das Verhältnis wie schnell Zähler und Nenner gegen unendlich gehen" ??) beibehält darf man alles machen?

@HAL9000 "Du hast insofern Recht, dass man mit

2^{n}

statt

8^{n}

im Ausgangsterm nicht so schnoddrig hätte abschätzen dürfen, weil dann das Ziel verfehlt worden wäre."
Könntest du nochmal erklären, ich versteh nicht was du damit meinst:-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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