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Abschätzung Fakultät

Universität / Fachhochschule

Tags: obere und untere Schranke von Fakultät

Haseandreas aktiv_icon

20:31 Uhr, 29.12.2021

Liebe Forumsmitglieder!
Ich soll folgende Aussage beweisen:

∀n∈N:

3 {(\frac{n}{3})}^{n}

≤ n!≤

2 {(\frac{n}{2})}^{n}

Dazu soll ich beweisen: für alle

n

∈

N, n

≥

2,

gilt (siehe Datei).
Den Beweis für die Produktformel habe ich über vollständige Induktion geführt.
Anschließend habe ich obige doppelte Ungleichung umgestellt:

\frac{3}{3^{n}} \cdot \frac{n^{n}}{n!} \leq 1 \leq \frac{2}{2^{n}} \cdot \frac{n^{n}}{n!}

Beide

\frac{n^{n}}{n!}

habe ich durch die Produktformel aus dem Bild ersetzt. Ich habe keine Idee, wie ich nun weiterverfahren kann und bitte um Unterstützung.
VG
Haseandreas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

20:41 Uhr, 29.12.2021

Also

3 (\frac{n}{3})^{n} / n! = 3 \cdot 3^{- n} \frac{n^{n}}{n!} = 3^{- n + 1} \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + 1 / k)^{k}

.

Weiter, da

3^{- n + 1} = \prod_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{3}

, haben

3^{- n + 1} \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + 1 / k)^{k} = \prod_{k = 1}^{n - 1} \frac{(1 + 1 / k)^{k}}{3}

.
Nun, wenn wir zeigen könnten, dass

(1 + 1 / k)^{k} \leq 3

für alle

k

, wären wir fertig.
Also, müssen wir das zeigen.
Zum Glück, ist es eine sehr bekannt Ungleichung, den Beweis ist leicht zu finden.
Z.B. hier:
www.onlinemathe.de/forum/Hilfe-bei-Beweis-1-1nn-3

Die andere Ungleichung wird ähnlich bewiesen.

Haseandreas aktiv_icon

20:52 Uhr, 29.12.2021

Das ist eine schlüssige Sache, auf die ich nicht gekommen wäre. Den Beweis für

< 3

haben wir in der VL bereits gehabt, ich kann mich auf ihn berufen.
Ich danke vielmals und versuche jetzt, den Beweis insgesamt aufzuschreiben.
VG
Andreas

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