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Abschätzung Tschebyscheff und Zentraler GWS

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Poisson-Verteilung, Tschebyscheff, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zentraler Grenzwertsatz, Zufallsvariablen

Math95 aktiv_icon

16:44 Uhr, 22.07.2018

Aufgabe:
Xn Folge unabhängiger, identisch Poisson Verteilter Zufallsvariablen mit Parameter 1.

a)

Bestimmen Sie die Verteilung von Sn=X1+X2+...+Xn

b)

Bestimmen Sie mit der Tschebyscheff- Ungleichung eine untere Abschätzung für

P (395 < S 400 < 405)

c)

Bestimmen Sie mit dem ZGWS eine Näherung für

P (395 < S 400 < 405)

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass E(X1)=Var(X1)=1 und E(Sn)=Var(Sn)=n

Meine Lösung:

a)

P(Sn=k)=

e^{- n} \cdot \frac{1}{k!}

b)

P (395 < S 400 < 405) = P (395 - 400 < S 400 - 400 < 405 - 400) = P (| S 400 - 400 | < 5)

E (S 400) = 400

kann man Tschebyscheff verwenden:

P (| S 400 - 400 | < 5) = P (| S 400 - E (S 400) | < 5) \geq 1 -

Var(S400)/5^2

= 1 - \frac{400}{5^{2}} = 1 - 16 = - 15

c)

P (395 < S 400 < 405) = P (\frac{395 - 400 \cdot 1}{\sqrt{400 \cdot 1}}) < (S 400 -

nE(Xn))/sqrt(nVar(Xn))

= \frac{S 400 - 400}{\sqrt{400}} < \frac{405 - 400 \cdot 1}{\sqrt{400 \cdot 1}}

= "ungefähr"

= N 0,1 (\frac{5}{20}) - N 0,1 (- \frac{5}{20}) = 2 \cdot N 0,1 (\frac{5}{20}) - 1 = 2 \cdot N 0,1 (0,25) - 1 =

"Tabelle"

= 2 \cdot 0,59871 - 1 = 0,19742

Wäre super wenn ihr mir sagen könnt ob ich dies richtig gelöst habe :-)
Die Ergebnisse weichen ja stark voneinander ab deswegen bin ich mir nicht sicher ob das stimmt...

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

17:56 Uhr, 22.07.2018

Hallo,

zu a)

Da habe ich

P (S_{n} = k) = e^{- n} \cdot \frac{n^{k}}{k!}

, da

S_{n} \sim P o i (n)

zu b)

Da habe ich im Prinzip die gleiche Rechnung. Aber eine Wahrscheinlichkeit kleiner 0 gibt es nicht. Somit würde die Tschebyscheff Abschätzung eher eine Wahrscheinlichkeit von 0 ergeben. Man erkennt, dass die Tschebyscheffsche Ungleichung manchmal absolut unzureichend ist.

zu c)

Habe ich auch so.

Gruß

pivot

Math95 aktiv_icon

18:16 Uhr, 22.07.2018

Vielen Dank für deine Antwort!
Ja du hast recht bei der

a)

(hatte mich vertippt)
Die negative Wahrscheinlichkeit hat mich auch irritiert aber dann bin ich ja erleichtert es doch richtig berechnet zu haben, nur das man es dann halt als

\geq 0

wertet.

Danke!

pivot aktiv_icon

18:24 Uhr, 22.07.2018

Gerne. Wie gesagt, ich würde bei Tschebyscheff die Abschätzung der untere Grenze als

0

angeben. Auf jeden Fall sollte man schreiben, dass die Abschätzung zu keinem vernünftigen Ergebnis geführt hat.

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