Abschlüsse, Äquivalenzklassen & Posets

Hallo,

wir haben unser neues Aufgabenblatt für MafI 1 (Mathematik für Informatiker) gerade bekommen und kommen mit der einen oder anderen Aufgabe nicht ganz zurecht.

2) Abschluss von Relationen

Finden Sie für die folgenden Relationen jeweils den reflexiven, symmetrischen und/oder transitiven Abschluss.

(a) ${\displaystyle \le \mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ (natürliche Zahlen)

(b) R in N mit xRy falls y = x+1

(c) R in ${\displaystyle \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit xRy falls y = x+1

(d) R in ${\displaystyle \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit xRy falls |x-y| < 0.0005

Hierzu fällt uns zwar etwas ein, aber wir würden uns freuen, wenn uns jemand z.B. (b) einfach mal lösen könnte, weil wir nicht genau wissen, wie wir die Lösung aufschreiben sollen, leichte Syntax Probleme :P

3) Äquivalenzrelationen

Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind. Was sind die Äuqivalenzklassen?

(a) Für x,y ${\displaystyle \in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ sei xRy genau dann, wenn sin(x) = sin(y)

Also, wir haben schon gezeigt, dass es Äquivalenzrelationen sind.

R = {x,y | x,y ${\displaystyle \in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ , x und y sind Vielfache von 2${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$}

Aber wie ist das Verfahren für die Äquivalenzklassen?

6) Posets

Betrachten Sie die folgenden Relationen ${\displaystyle \le }$*(das < Zeichen ist aber rundlich, so verschnörkelt, für totale Ordnung) auf der Menge der Punkte der Ebene mit natürlichen Koordinaten (d.h. (a,b ${\displaystyle \in }$ N x N):

(a) (a,b) ${\displaystyle \le }$* (c,d) genau dann, wenn a+b ${\displaystyle \le }$ c+d

Wir haben überhaupt keinen Ansatz, es scheitert wohl wieder an der Syntax :P

Danke schonmal im Voraus

Ergänzung zu 6) Welche diese Relationen sind partielle Ordnungsrelationen und welche nicht?

Kurze Begründung! Welche sind sogar totale Ordnung?

zu 2b)

Warum ist der reflexive Abschluss "offenbar" y=x ?? weil man dann auch x = y + 1 schreiben könnte?

Dass y>x ist ist ja klar bei y=x+1, reicht das für den transitiven Abschluss schon aus?

c) Zur Transitivität raff ich es einfach nicht, sry :(

Zu 3)

Du hast recht, was ich geschrieben habe war auch nicht unsere Endlösung, das war unser "grundgerüst" um überhaupt drauf zu kommen, dass es mehrere Paare gibt, weil die Sinuskurve ja "schwingt".

Lösung (hoffentlich): R = {x,y,n | x,y ${\displaystyle \in \mathbb{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, x-y = n2${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ${\displaystyle \vee }$ x+y = n${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$}