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Abschluss = die Vereinigung von Rand , das Innere

Universität / Fachhochschule

Tags: Metrische Räume

yara98 aktiv_icon

21:05 Uhr, 18.04.2023

Abschluss ist die Vereinigung von Rand und das Innere

zu zeigen Für alle Teilmengen

Y \subset X

gilt

\overline{Y} = \overset{\circ}{Y} \dot{\cup} \partial Y

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:07 Uhr, 18.04.2023

Hallo,

wie sind bei euch denn Rand, Abschluss und Inneres definiert?

Mfg Michael

yara98 aktiv_icon

21:22 Uhr, 18.04.2023

(X, d)

ein metrischer Raum und

Y \subset X

(i) das Innere:

i n t (Y) := \overset{\circ}{Y} := {y \in Y : (\exists ε > 0 : B_{ε}^{X} (y) \subset Y)}

(ii) der Abschluss:

c l (Y) := \overline{Y} := X ∖ i n t (X ∖ Y)

(iii) der Rand:

\partial Y := \overline{Y} \cap c l (X ∖ Y)

michaL aktiv_icon

22:17 Uhr, 18.04.2023

Hallo,

sicher habt ihr Ergebnisse über das Innere bzw. den Abschluss?!
Gemeint ist so etwas wie:

A^{\circ} \subseteq A \subseteq \overline{A}

\overline{\overline{A}} = \overline{A}

(A^{\circ})^{\circ} = A^{\circ}

Oft wird gerne vorab folgendes gezeigt:

\partial Y = {y \in X ∣ \forall ε > 0 : B_{ε} (y) \cap Y \neq \emptyset \lor B_{ε} (y) \cap^{c} Y \neq \emptyset}

In Worten: Der Rand besteht aus all denjenigen Elementen, die sowohl

Y

, als auch

^{c} Y

beliebig nahe sind.

Der Abschluss von

Y

kann dann als die Menge derjenigen Elemente identifiziert werden, für die alle Kugeln um diese Elemente mit

Y

einen nicht leeren Schnitt haben.

Habt ihr das zur Verfügung, oder müssen wir elementar heran gehen?

Mfg Michael

yara98 aktiv_icon

22:32 Uhr, 18.04.2023

Wir hatten leider keine davon.

\begin{array}{l} A^{\circ} \subseteq A \subseteq \overline{A} \\ \bar{\overline{A}} = \overline{A} \\ {(A^{\circ})}^{\circ} = A^{\circ} \end{array}

\partial Y = {y \in X ∣ \forall ɛ > 0 : B_{ɛ} (y) \cap Y \neq \emptyset \lor B_{ɛ} (y) \cap^{c} Y \neq \emptyset}

Aber wenn es nicht ohne sie (oder sehr kompliziert) geht.
Dann gerne ..

michaL aktiv_icon

09:24 Uhr, 19.04.2023

Hallo,

hm, na, dann eben ohne.

(i) in Worten: Ein Element liegt im offenen Kern von

Y

genau dann, wenn es eine

ε

-Umgebung gibt, die ganz in

Y

liegt.

(ii) in Worten: Ein Element liegt im Abschluss von

Y

genau dann, wenn es keine

ε

-Umgebung gibt, die ganz im Komplement von

Y

liegt.
Heißt: Jede

ε

-Umgebung dieses Element trifft

Y

.

(iii) in Worten:

y

liegt auf dem Rand von

Y

, wenn es sowohl Teil des Abschlusses von

Y

, als auch Teil des Abschlusses des Komplements von

Y

ist.
Nach zwei bedeutet dies:

y

ist Element des Randes von

Y

, wenn jede

ε

-Umgebung dieses Element sowohl

Y

, als auch dessen Komplement trifft.

Zu zeigen ist folgende Mengengleichheit:

\overline{Y} = Y^{\circ} \dot{\cup} \partial Y

\overline{Y} \subseteq Y^{\circ} \cup \partial Y

":
Sei also

y \in \overline{Y}

.
Aus (ii) folgt, dass dies bedeutet, dass

y \in X \ (X \ Y)^{\circ}

gilt.
Es gilt also genau

y \notin (X \ Y)^{\circ}

, d.h. es gibt also wegen (i) kein

ε > 0

, sodass

B_{ε} (y) \subseteq (X \ Y)

.
Mit anderen Worten: Jede

ε

-Umgebung von

y

trifft

Y

.
Falls

y \in Y^{\circ}

gilt, ist alles ok.
Falls nicht, dann bedeutet das, dass es auch keine

ε

-Umgebung von

y

gibt, die ganz in

Y

liegt.
Jede

ε

-Umgebung muss also sowohl

Y

, als auch

^{c} Y

treffen.
Gemäß Ausführung oben bedeutet dies gerade, dass

y \in \partial Y

gilt.

Dass die Vereinigung

Y^{\circ} \cup \partial Y

elementfremd ist, folgt aus der Vorüberlegung:
Im Kern von

Y

sind genau die Elemente, für die es (mind.) eine

ε

-Umgebung gibt, die ganz in

Y

liegt.
Elemente des Randes sind aber gerade die, bei denen jede

ε

-Umgebung sowohl

Y

, als auch dessen Komplement trifft.

Kannst du damit die umgekehrte Inklusion alleine?

Mfg Michael

yara98 aktiv_icon

11:40 Uhr, 19.04.2023

Die umgekehrte Inklusion sollte ich alleine hinkriegen.
sehr verständlich. Dankeschön

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