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Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Algebraische Topologie
Tags: Abgeschlossenheit, Algebraische Topologie, Einheitsball, Metrik, Norm, Vektorraum
 
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Schönen guten Abend, es geht um einen Beweis, der sich im ersten Moment gut lösbar anfühlt , aber weder ich noch mein Kommilitone konnten bis jetzt einen geeigneten Ansatz finden, um den Beweis anzufertigen. Wir haben einen metrischen Raum . In diesem Raum gilt, dass der abgeschlossene Einheitsball um den Punkt mit dem Radius ∈ ≤ im allgemeinen nicht mit der abgeschlossene Hülle des offenen Einheitsballes um ∈ übereinstimmt. Die Aufgabe ist zu beweisen, dass in normierten Räumen hingegen die Übereinstimmung immer existiert. Was die Begriffe der Aufgabe bedeuten ist mir soweit klar. Ich denke auch, dass der Beweise über die Eigenschaften der Abgeschlossenheit und die Eigenschaften der Norm laufen wird. Außerdem wurden uns diese Eigenschaften für die Aufgabe ans Herz gelegt: Extensivität A ⊆ Monotonie Falls A ⊆ dann ⊆ . Idempotenz Ein weiterer Tipp war, dass in Vektorräumen zwei Punkte und stets durch ein Segment tx − ≤ ≤ verbunden werden können. Mit den ganzen Hilfestellungen muss doch der Beweis doch machbar sein oder ? :-D) |
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Hallo, ich gehe mal davon aus, dass klar ist, dass abgeschlossen ist und daher der Abschluss von liegt. Wenn aber umgekehrt gegeben ist, dann ist doch einfach eine Folge in die gegen konvergiert, also ist die abgeschlossene Hülle von - oder habe ich da etwas, im Kopf, war Ihr noch nicht gezeigt habt? Gruß pwm |
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Ja das es der Abschluss ist ist mir klar, weil es die kleinste abgeschlossene Menge ist, die enthalten ist. Nur danach ist es mir noch unklar. Sie haben jetzt eine Folge konstruiert, die von gegen ein Element aus konvergiert. Und da dann die abgeschlossene Hülle von ist existiert die Gleichheit ? Wie ist das denn zu zeigen im Bezug auf die Norm ? |
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Hallo, sei eine zweielementig Menge, versehen mit der diskreten Metrik: und . Dann ist und . Aber ist bereits abgeschlossen, seine abgeschlossene Hülle ist also wieder und nicht . Guß ermanus |
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Ich denke, dass pwmeyer eher so etwas wie gemeint hat. Er wird wohl an den Fall gedacht haben ;-) Hier geht aber doch bereits ein, dass wir einen Vektorraum haben und auch, dass die Metrik von einer Norm herkommt, oder? |
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Kann es sein, dass sie meine Frage etwas fehlinterpretiert hast ? Haben sie nicht gezeigt, dass es eben nicht immer der Fall in einem metrischen Raum ist ? Das ist ja die Aussage die mir gegeben war. Der Beweis soll ja aussagen, dass dies gerade der Fall in einem normierten Raum ist. |
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Nein, der Sinn meiner Ausführung war, zu zeigen, dass Metrik alleine nicht ausreicht, sondern Linearität (!) mit vorausgesetzt werden muss. Da pwmeyer eben dies voraussetzt, könnte sein Ansatz durchaus fruchtbringend sein, da er die vorhandene Linearität nutzt und - für mich nicht unbedingt erkennbar - die Eigenschaften der Norm. Ich wollte keinen fertigen Beweis liefern, sondern quasi nur Gedanken in die vielleicht richtige Richtung ... |
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Sie merken wohl an meiner Reaktion, dass ich trotz nachschauen der Definitionen usw. noch kein wirkliches Verständnis für das "Ganze" entwickelt habe. Es ist für mich so ziemlich schwer die Beweisführung zu verstehen. |
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Hallo, danke an Ermanus: Ich hatte in der Tat im Kopf (weil das ja im Prinzip reicht) In der Tat mit - nutze ich die Linearität des Raumes aus, weil mit und auch die Linearkombination zum Raum gehört. - nutze ich die Normeigenschaften aus, weil . Gruß pwm |
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