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Absolut konvergente, mehrfache Reihe umformen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, mehrfache Reihe umformen

AllesWattIhrVolt aktiv_icon

05:46 Uhr, 12.06.2019

Es geht um eine Umformung einer absolut konvergenten mehrfachen Reihe.
Kann mir jemand sagen, wie die Umformung auf dem Bild zustande kommt (Indexverschiebung mit oo??)?

Auch verstehe ich nicht ganz, wie das praktisch aussehen soll. Auf der linken Seite habe ich einen Term, der von

k & n

abhängig ist, rechts von

l & n

. Werden alle

k' s

durch

l' s

ersetzt und die

n' s

durch

n - l

HAL9000

09:03 Uhr, 12.06.2019

Schreiben wir alle Reihenglieder mal in einem Tableau auf:

\begin{array}{lllll} a_{0, 0} & a_{0, 1} & a_{0, 2} & a_{0, 3} & \dots \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & \dots \\ a_{2, 0} & a_{2, 1} & ⋱ & \dots & \dots \\ a_{3, 0} & ⋮ & ⋮ & ⋱ & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}

Die Doppelsumme

\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k, n}

entspricht nun der Variante, zuerst vertikal zu summieren, und anschließend die ganzen Spaltensummen (besser gesagt -reihen) aufzusummieren.

Die Variante rechts

\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = 0}^{\infty} a_{ℓ, n - ℓ}

hingegen summiert diagonal, und zwar jeweils in der

n

-ten Diagonalen von rechts oben

a_{0, n}

, dann

a_{1, n - 1}

usw. bis nach links unten

a_{n, 0}

. In meinem Tableau habe ich gerade so noch diese Diagonale für den Fall

n = 3

angegeben. Wie man unschwer sieht, werden auch in diesem Fall alle Tableauzahlen jeweils genau einmal für die Summation erwischt. Und da die Doppelreihe absolut konvergiert, ist eine solche Umsortierung der Reihenglieder erlaubt.

AllesWattIhrVolt aktiv_icon

19:21 Uhr, 14.06.2019

Perfekt, jetzt verstehe ich es.
Vielen Dank für Deine Antwort :-)

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