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Absolutbetrag Beweis

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Dummy_small_m

pi=3=e aktiv_icon

21:26 Uhr, 07.08.2019

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Hi, ich möchte gerne folgende Eigenschaft des Absolutbetrages beweisen:
|x|≤y⇔-y≤x≤y

Dazu mache ich eine Fallunterscheidung:

Sei x≥0:
Dann ist per Definition |x|=x
Da nach Annahme |x|≤y⇒0≤x=|x|≤y
Und weil wir nun wissen, dass y≥0⇒-y≤0

Aus allem folgt:
-y≤x≤y, für x≥0

Sei nun x<0:
Dann ist per Definition |x|=-x
Da nach Annahme |x|≤y⇒0≤-x≤y
Da -x nichtnegativ ist, wissen wir, dass x nicht positiv ist also gilt auch:
-|x|=x≤0≤-x≤y

Stimmt das bis hier?
Wie bringe ich in der letzten Ungleichung das -y noch rein??
Folgt das aus der Annahme |x|≤y? Ich mögchte nicht auf beiden Seiten mal -1 rechnen und das Zeichen kehren, denn das haben wir noch nicht bewiesen

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

21:35 Uhr, 07.08.2019

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Hallo,

du schreibst

Sei x≥0:
Dann ist per Definition ∣x∣=x

Man erhält dann die ursprüngliche Ungleichung ohne Betragsstriche :x≤y

Genauso verfährst du mit dem 2. Fall: x<0

Und dann die beiden Teillösungen zusammenführen.

Gruß

pivot
Dummy_small_m

pi=3=e aktiv_icon

21:48 Uhr, 07.08.2019

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Danke für die Antwort!
Stimmt der erste Teil?

zweiter Teil:

sei x<0
nach Def. |x|=-x
Da |x|≤y folgt -x≤y (nun rechne ich -y, dann +x)
⇒-y≤x<0≤-x≤y

irgendwie so?
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

22:10 Uhr, 07.08.2019

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Edit: Ja, so stimmt es. Dein Vorgehen ist äquivalent zu meinem Vorgehen im 1. Fall.

Nun die beiden Ergebnisse zusammenführen.
Dummy_small_m

pi=3=e aktiv_icon

22:30 Uhr, 07.08.2019

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Aber damit zeige ich doch nicht alles was ich will oder?
ich muss doch für ein x grösser gleich 0 zeigen, dass dieses x kleiner als y UND grösser als -y ist

und von einem negativen x muss ich zeigen, dass es grösser ist als -y UND kleiner als y

alles unter der Annahme, dass |x|≤y

Bitte korrigiere mich, wenn das nicht stimmt :-)
Dummy_small_m

pi=3=e aktiv_icon

22:32 Uhr, 07.08.2019

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Die Ergebnisse zusammenführen? Das verstehe ich nicht...

Wenn ich es für x<0 und x≥0 gezeigt habe, habe ich es doch für alle x gezeigt... oder?
Was muss ich noch zusammenfügen?
Antwort
supporter

supporter aktiv_icon

08:24 Uhr, 08.08.2019

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x≤y

x≥-y (aus -x≤y-→x≥-y)

-→-y≤x≤y
Antwort
HAL9000

HAL9000

11:37 Uhr, 08.08.2019

Antworten
Man muss hier schon aufpassen, welche Eigenschaften der Betragsfunktion man zu diesem Erkenntniszeitpunkt schon verwenden will/darf, da gebe ich pi=3=e schon Recht. Er will das ganze offenbar ausschließlich auf Basis der Definition ∣x∣={x für x≥0-x für x<0 durchziehen und ist bereits bei einfachen Folgerungen wie x≤∣x∣ oder -x≤∣x∣ misstrauisch hinsichtlich deren Benutzbarkeit... Ok, ich gehe mal unter dieser Prämisse auf den von ihm gewählten Beweisansatz ein.


@pi=3=e

Warum führst du deinen Fall 2 nicht analog zu Fall 1 konsequent zum Ende: Du bist da bei 0≤-x≤y angelangt und zusammen mit -y≤0 folgt -y≤-x≤y.

Du willst nicht mit -1 multiplizieren, nun gut. Dann betrachte halt getrennt den linken Teil -y≤-x und addiere dort x+y, und dann betrachte den rechten Teil -x≤y und addiere dort x-y, dann kommst du ebenfalls insgesamt zu -y≤x≤y. Dabei gehe ich davon aus, dass die Erhaltung des Relationszeichens bei Addition/Subtraktion dann doch schon bekannt und benutzbar ist, oder?
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