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Absolute Konvergenz
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen
 
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Hallo zusammen, Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand meine unten als Bild angehängte Aufgabe überprüfen könnte, Bzw. falls es einen Besseren oder mein Lösungsweg nicht vollständig ist, diesen zu verbessern. So wie ich das Verstanden habe, ist sowohl das Quotienten Kriterium als auch das Wurzelkriterium nur auf Reihen anwendbar und liefert mir lediglich, die Absolute Divergenz oder absolute Konvergenz? Beide Kriterien folgen ja aus dem Majorantenkriterium? Vielen Dank im vorraus :-D)   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Bisschen zuviel weggeschnitten bei b) ??? "Ist die Reihe " ... ja was soll sie sein? KONVERGENT? Der limsup im Quotientenkriterium ist - entgegen deiner Rechnung - exakt gleich 1, womit das Quotientenkriterium keine Entscheidung liefert. Die Reihe ist konvergent gemäß Leibniz-Kriterium, aber nicht absolut konvergent. Folgt beides relativ einfach aus . Der Reihenwert bei a) ist richtig. |
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Oh Entschuldigung, natürlich soll es heißen konvergent bzw absolut konvergent. Danke schonmal. Habe ich mich etwa verrechnet oder stimmt der Ansatz nicht? Mein berechneter Grenzwert stimmt doch (Zumindest wenn Werte einsetzten Empirisch genug ist :-D)) |
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> Habe ich mich etwa verrechnet Offenkundig, denn der Grenzwert des Quotienten ist ja eben 1 statt 0, was man an unmittelbar sieht. |
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Meine Rechnung war wohl etwas unsauber. Was heißt das dann für die Reihe? Laut mir wäre sie ja absolut Konvergent. |
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Ich habe gesagt, was zu sagen war. Ob du es nachrechnen oder ignorieren willst, ist deine Sache. |
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Natürlich möchte ich das nicht Ignorieren :-D) könntest du mir dann evtl sagen wo mein Fehler ist? Deiner Rechnung kann ich soweit folgen. Und Entschuldigung du hast natürlich recht, dass die folge gegen 1 konvergiert. Ich komme Rechnerisch nur nicht darauf bzw finde meinen Fehler nicht Berabeitet: Meinen Fehler hab ich jetzt gefunden. Ich hatte garkeinen, habe aber nicht fertig gerechnet und bin dann von etwas falschem ausgegangen. Nämlich das der Nenner gegen unendlich Konvergiert. Meine Frage wäre jetzt dann nur noch. Kann ich durch das Quotienten Kriterium dann sagen das die Reihe nicht absolut Konvergiert? oder ist es so das ich bei überhaupt keine aussage bekomme ? |
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> oder ist es so das ich bei =1 überhaupt keine aussage bekomme ? So ist es. Betrachte etwa sowie : Die erste ist divergent, die zweite absolut konvergent - beide liefern Grenzwert 1 des Quotienten. Grundsätzlich gilt: Bei Reihengliedern, die ausschließlich aus Polynomen oder rationalen Funktionen bestehen (selbst mit gebrochenen Exponenten, d.h. keine eigentlichen Polynome) bekommt man i.d.R. Grenzwert 1 bei Quotienten- sowie Wurzelkriterium, und damit keine Entscheidung. D.h., mit ein wenig Erfahrung sieht man mit einem Blick auf die Reihe, dass sich nicht mal der Versuch dieser Kriterien lohnt. |
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Vielen Dank. Das Leibniz Kriterium liefert mir dann aber nur die Konvergenz und noch keine Aussage über die absolute Konvergenz. Welches Kriterium ist dort am besten anzusetzen? |
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Ich wiederhole nochmals: Die Reihe der Absolutglieder lässt sich somit nach unten abschätzen durch . Da diese Reihe divergiert, so divergiert auch die Reihe der Absolutglieder gemäß Minorantenkriterium. EDIT: Es geht sogar noch viel einfacher. Die Partialsumme dieser Reihe ist , da das eine Teleskopsumme ist. Mit folgt die Divergenz. |
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