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Abstand Punkt - Lotpunkt / Einheitsvektor

Schüler Gymnasium,

Tags: Abstand, Analytische Geometrie, eingeheitsvektor, Vektor

MatheFrage12 aktiv_icon

22:49 Uhr, 03.02.2017

Hallo,

ich habe eine Frage zur analytischen Geometrie. Ich sitze jetzt schon seit über einer Stunde da und verstehe eine Rechnung, welche wir in der Schule gemacht haben, immer noch nicht.

Gegeben sind die Punkte:

A (- 1 | - 1); B (3 | 1); C (- 0,5 | 2)

Daraus haben wir ein Dreieck gezeichnet. Und vom Punkt eine Gerade auf AC, welche dort einen rechten Winkel hat.

Den Lotpunkt auf AC haben wir

F

genannt.

Ges.: Abstand

x

von A zu

F

LSG.:

x =

Vektor AB

\cdot

Einheitsvektor AC

Wieso kommt da das richtige raus ? Ich verstehe es nicht. Projektiert man AB damit nicht nur einfach in die AC Richtung ?

Bei der Berechnung haben wir einen Schritt gemacht, bei dem ich nicht verstehe warum man das machen darf.

Es wäre sehr nett wenn mir jemand helfen kann, die Aufgabe zu verstehen.
Vielen Dank im Voraus.

Bild Zeichnung: www.pic-upload.de/view-32613654/14861584874121924487439.jpg.html
Bild Rechnung: www.pic-upload.de/view-32613645/1486158412703941759116.jpg.html

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Respon

23:10 Uhr, 03.02.2017

Winkel zwischen

\vec{A C}

und

\vec{A B}

sei

φ

\frac{x}{| \vec{A B} |} = cos (φ)

x = | \vec{A B} | \cdot cos (φ)

φ

ist aber unbekannt.

| {\vec{A C}}_{0} | = 1

und ändert als Faktor nichts.

\Rightarrow

x = | \vec{A B} | \cdot | {\vec{A C}}_{0} | \cdot cos (φ)

| \vec{A B} | \cdot | {\vec{A C}}_{0} | \cdot cos (φ)

ist aber das skalare Produkt von

\vec{A B}

und

{\vec{A C}}_{0}

\Rightarrow

x = \vec{A B} \cdot {\vec{A C}}_{0}

MatheFrage12 aktiv_icon

23:35 Uhr, 03.02.2017

Danke für deine Antwort.

Geht auch folgender Rechenweg? (Bei mir kommt da

2,53

raus und nicht

2,6)

Gerade AC aufstellen und dann:

((\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot r (\begin{matrix} 0,5 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 0,5 \\ 3 \end{matrix})

Dann mit

r

die Koordinaten von

F

ausrechnen und anschließend die Strecke AF ?

Respon

23:39 Uhr, 03.02.2017

Was ist das ? Was ist

r

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00:26 Uhr, 04.02.2017

Ich habe die Rechnung von diesem Video
youtu.be/mdtJjvsYdQg
Nachgemacht mit meinem Punkten.

Respon

00:34 Uhr, 04.02.2017

Vermutlich meinst du

+ r!

Warum so kompliziert ?

F

ist doch gar nicht gefragt.
kennst du die Hessesche Normalform ?

Stephan4

03:13 Uhr, 04.02.2017

Der Abstand

x

von A zu

F

ist die Länge des Vektors

\vec{A F}

.

Der Vektor

\vec{A F}

liegt so wie

\vec{A C},

nur etwas kürzer und kann daher als als

t \cdot \vec{A C}

dargestellt werden.

(1) \vec{A F} = t \cdot \vec{A C}

Außerdem steht

\vec{A C}

\vec{B F}

im rechten Winkel, daher ist das Skalarprodukt dieser Winkel Null.

(2) \vec{A C} \cdot \vec{B F} = 0

Den Vektor

\vec{B F}

erhält man durch den Weg von

B

nach

F

über den Umweg durch A.

(3) \vec{B F} = \vec{B A} + t \cdot \vec{A C}

Zeile

(3)

(2)

eingesetzt:

(4 a) \vec{A C} \cdot (\vec{B A} + t \cdot \vec{A C}) = 0

(4 b) (\begin{matrix} 0,5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0,5 \\ 3 \end{matrix})) = 0

(4 c) 0,5 (- 4 + 0,5 t) + 3 (- 2 + 3 t) = 0 \to t = \frac{8}{9,25} = 0,865

Damit in

(1)

die Länge von

\vec{A F}

ausrechnen:

x = | \vec{A F} | = t \cdot | \vec{A C} | = \frac{8}{9,25} \cdot \sqrt{9,25} = 2,630

Oder mit dem Skalarprodukt:
"Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt aus der Länge des einen Vektors und der Länge des auf diesen projizierten anderen Vektors."

(5 a) \vec{A C} \cdot \vec{A B} = | A C | \cdot | A F |

(5 b) (\begin{matrix} 0,5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \sqrt{9,25} \cdot | A F |

(5 c) 0,5 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = \sqrt{9,25} \cdot | A F |

:-)

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22:17 Uhr, 04.02.2017

Danke für eure Antworten
Jetzt wird mir einiges klarer. Mit der hessche Normalform habe ich heute eine Aufgabe gerechnet danke für den tipp

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