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Abstand Punkt zu Funktion (x,y)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

ChristopherME aktiv_icon

09:14 Uhr, 19.05.2014

Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben :

Bestimmen Sie die Punkte in der Menge

M = {(x, y) : (4 - x) y^{2} = x^{3}},

die den geringsten Abstand zum Punkt

(6,0)

aufweisen.

Ich habe jetzt eine halbe Stunde einen Ansatz gesucht, aber keine Idee wie man hier vorgeht

. .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

funke_61 aktiv_icon

09:26 Uhr, 19.05.2014

ok,
ich habe nur eine Vermutung.
Zunächst mal kann man die Angabe in eine Relation umformen, die zwei zur x-Achse symmetrische Funktionen ergibt:

y^{2} = \frac{x^{3}}{4 - x}

y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4 - x}}

wegen Symmetrie zur x-Achse darf man nur den positiven Ast betrachten.

Hast Du schon eine Skizze zu dieser Funktion?

ChristopherME aktiv_icon

09:31 Uhr, 19.05.2014

nein, ich habe noch keine Skizze.

In der Vorlesung hatten wir grade Lagrange'schen Multiplikator. Da habe ich auch den Ansatz gesucht.

Dein Ansatz wäre, wenn ich das richtig verstanden habe, eine "normale" Funktion zu bilden um dann den Abstand heraus zu finden ?

funke_61 aktiv_icon

09:37 Uhr, 19.05.2014

mit "Lagrange" kann ich Dir nicht helfen.
Aber meine Vermutung ist, dass die Normale auf den Graphen, welche durch den Punkt

(6 | 0)

"zeigt" geschnitten mit dem Graphen einen der beiden gesuchten Punkte als Lösung liefert.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x^3%2F%284-x%29%29+in+the+reals+from+0+to+6

Der andere folgt aus der Symmetrie.
;-)

funke_61 aktiv_icon

09:48 Uhr, 19.05.2014

habe den WolframAlpha link gerade nochmal erweitert zu

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x^3%2F%284-x%29%29+in+the+reals+from+0+to+6

So kann man besser erkennnen, dass meine Vermutung stimmen könnte.
;-)

Respon

11:40 Uhr, 19.05.2014

f (x) = \sqrt{\frac{x^{3}}{4 - x}}

( Wegen Symmetrie nur der obere Ast. )
Beliebiger Punkt auf Graph

Q (x | \sqrt{\frac{x^{3}}{4 - x}})

Abstandsfunktion QP:

d (x) = \sqrt{{(6 - x)}^{2} + \frac{x^{3}}{4 - x}}

Modifiziert für Minimum

d_{1} (x) = {(6 - x)}^{2} + \frac{x^{3}}{4 - x}

d'_{1} (x) = - \frac{16 \cdot (x^{2} - 8 \cdot x + 12)}{{(4 - x)}^{2}}

x^{2} - 8 \cdot x + 12 = 0 \Rightarrow x = 2

Q (2 | 2)

ChristopherME aktiv_icon

16:41 Uhr, 19.05.2014

kann man

f (x, y)

einfach so in

f (x)

umformen ?

ChristopherME aktiv_icon

09:08 Uhr, 20.05.2014

Die Lösungsformel lautet:

Extremwerte der Funktion

f (x, y) = {(x - 6)}^{2} + {(y - 0)}^{2}

unter Nebenbedingung

g (x, y) = 0,

wobei

g (x, y) = (4 - x) y^{2} - x^{3}

also

L (x, y, λ) = {(x - 6)}^{2} + {(y - 0)}^{2} + λ (4 - x) y^{2} - x^{3}

Das Ganze nach

L_{x}, L_{y}

und

L_{λ}

ableiten und dann das Gleichungssystem lösen.

Der Abstand selber (nach dem nicht gefragt ist) wäre

: \sqrt{f (x, y)}

wobei

x

und

y

die errechneten Koordinaten aus dem Gleichungssystem sind.

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