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Abstand eines Punktes zu allen Ebenen gleich

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Abstand, eben

Nova12 aktiv_icon

17:17 Uhr, 31.05.2012

Folgende Aufgabenstellung:
Gegeben ist die quadratische Pyramide ABCDS mit

A (2 | 0 | 0), B (0 | 2 | 0), C (- 2 | 0 | 0), D (0 | - 2 | 0)

und der Spitze

S (0 | 0 | 6)

. Bestimmen Sie den Punkt im Inneren der Pyramide, der zu allen Seitenflächen und der Grundfläche den gleichen Abstand hat.

So hab mir überlegt, dass der Punkt auf der

x 3 -

Achse liegen muss. Also sind

x 1 = 0

und

x 2 = 0

.

Die Punkte ABCD liegen in der Ebene

x 3 = 0

Dann habe ich noch die Ebene ABS aufgestellt:

3 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 6

Nun wollte ich die ebenen in unserer Abstandsform gleichsetzen und nach

x 3

auflösen aber ich glaube das ist der falsche weg weil ich das irgendwie nicht gebacken kriege.

Unsere Abstandsformel ist: 1/Betrag Normalenvektor

\cdot (x 1 + x 2 + x 3 - d) = 0

Das was ich gleichgestzt habe wäre:

\frac{1}{19^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + x 3 - 6) = x 3 \cdot \frac{1}{1}

Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter.

Der gesuchte Punkt ist laut Lösung:

P (0 | 0 | \frac{6}{19^{\frac{1}{2}} + 1})

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade

Paulus

17:54 Uhr, 31.05.2012

Hallo Nova12

Die Abstandsgleichung ist also

\frac{3}{\sqrt{19}} \cdot x_{1} + \frac{3}{\sqrt{19}} \cdot x_{2} + \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot x_{3} - \frac{6}{\sqrt{19}} = 0

Wenn du Testeshalber mal den den Ursprung einsetzt, bekommst du

\frac{3}{\sqrt{19}} \cdot 0 + \frac{3}{\sqrt{19}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot 0 - \frac{6}{\sqrt{19}} = - \frac{6}{\sqrt{19}}

Also einen negativen Wert.

Der gesuchte Punkt nuss auf der glecihen Seite liegen wie der Koordinatenursprung.

D . h

. wenn du diesen Punkt einsetzt, muss auch ein negativer Wert entstehen.

Es gilt also die Gleichung:

\frac{3}{\sqrt{19}} \cdot 0 + \frac{3}{\sqrt{19}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot x_{3} - \frac{6}{\sqrt{19}} = - x_{3}

Oder einfach

\frac{1}{\sqrt{19}} \cdot x_{3} - \frac{6}{\sqrt{19}} = - x_{3}

Wenn du das nach

x_{3}

auflöst, dann bekommst du die angegebene Lösung.

Alles klar?

Gruss

Paul

Nova12 aktiv_icon

18:02 Uhr, 31.05.2012

Ich verstehe nicht so ganz warum du den Ursprung einsetzt und dahern auch ein negativer wert beim gesuchten púnkt entstehen muss.

und ich tue mich etwas schwer das hier aufgelöst zu bekommen:

\frac{1}{19^{\frac{1}{2}}} \cdot x 3 - \frac{6}{19^{\frac{1}{2}}} = - x 3

kannst du mir vielleicht kurz sagen wie ich da anfangen soll? Steh irgendwie heute mathe mäßig auf dem schlauch^^

Danke schonmal.

Paulus

18:20 Uhr, 31.05.2012

Hallo Nova12

nun, aus der Zeichnung siehst du doch sicher, dass der Ursprung auf der GLEICHEN Seite der Ebene liegen muss wie der gesuchte Punkt.

Bei der Hesseschen Normalform eingesetzt gilt doch:

Alle Punkte, die AUF der Ebene liegen, ergeben den Wert 0

Alle Punkte, die auf der GLEICHEN Seite der Ebene lieben, haben das GLEICHE Vorzeichen.

Also einfach hier eingesetzt:

\frac{3}{\sqrt{5}} (19) \cdot x_{1} + \frac{3}{\sqrt{19}} \cdot x_{2} + \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot x_{3} - \frac{6}{\sqrt{19}}

Setzt du die Spitze ein, ergibt sich

\frac{3}{\sqrt{5}} (19) \cdot 0 + \frac{3}{\sqrt{19}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot 6 - \frac{6}{\sqrt{19}}

Und das ist offensichtlich 0.

S

liegt ja auch auf der Ebene.

Setzt du den Ursprung ein:

\frac{3}{\sqrt{5}} (19) \cdot 0 + \frac{3}{\sqrt{19}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot 0 - \frac{6}{\sqrt{19}}

Und das ist offensichtlich negativ.

Also muss beim Einsetzen des gesuchten (mit offenbar positivem

x_{3})

Punktes auch ein negativer Wert entstehen.

\frac{x_{3}}{\sqrt{19}} - \frac{6}{\sqrt{19}} = - x_{3}

Alles mal mit

\sqrt{19}

multiplizieren:

x_{3} - 6 = - x_{3} \cdot \sqrt{19}

die rechte Seite durch Addition nach links bringen:

x_{3} + x_{3} \cdot \sqrt{19} - 6 = 0

6 addieren:

x_{3} + x_{3} \cdot \sqrt{19} = 6

x_{3}

ausklammern:

x_{3} \cdot (1 + \sqrt{19}) = 6

und noch durch die Klammer dividieren:

x_{3} = \frac{6}{1 + \sqrt{19}}

Was natürlich das Gleiche ist wie

\frac{6}{\sqrt{19} + 1}

Wenn du noch die Schreibweise

\sqrt{19} = 19^{\frac{1}{2}}

beachtest...

Alles klar?

Gruss

Paul

Nova12 aktiv_icon

18:32 Uhr, 31.05.2012

Aber du hast jetzt nur die Ebene ABS genutzt. Was ist denn mit der Ebene ABCD also

x 3 = 0

?

Oder hast du die Gleichgesetzt so wie ich das in meinem ersten Post meinte und die rechte seite ist dadurch einfach nur

x 3

. Aber sonst, warum betrachtest du wie der Punkt zur ABS ebene liegen müsste und nicht wie er zur ABCD Ebene liegen müsste.

Also was hast du jetzt genau alles benutzt und woher weißt du jetzt das dieser Punkt von allen Seitenflächen und der Grundfläche denselben abstand hat?

Ist vielleicht ne blöde frage aber das ist mir dann doch noch nicht ganz klar.

Bummerang

09:13 Uhr, 01.06.2012

Hallo,

der gesuchte Punkt soll von allen vier Ebenen den selben Abstand haben. Dazu ermittelt man zu allen 4 Ebenen die Hessesche Normalform. Dann setzt man in den vier Ebenengleichungen den jeweils vierten, nicht in der jeweiligen Ebene liegenden Punkt ein und schaut, ob dieser einen positiven oder einen negativen Wert liefert. Ist der Wert negativ, dann multipliziert man die Gleichung (Koeffizienten der Vektorkomponenten und Skalar) noch mit

(- 1)

durch, dann liefern die so entstandenen Gleichungen für jeden Punkt innerhalb der Pyramide einen positiven Wert und dieser ist gleich dem Abstand des Punktes von der jeweiligen Ebene. Der gesuchte Punkt hat zu allen Ebenen den selben Abstand, sagen wir mal

d_{0},

dann hat man letztendlich 4 lineare Gleichungen mit 3 unbekannten Vektorkomponenten und einem unbekannten Abstand

d_{0},

also 4 Unbekannte. Das Gleichungssystem ist zu lösen!

Paulus

11:06 Uhr, 01.06.2012

Hallo Nova

ich dachte eigentlich, dass du dir die Überlegungen bereits gemacht hattest.

Du hast ja selber herausgefunden, dass der gesuchte Punkt auf der z-Achse liegen muss.

Wie hast du das denn herausbekommen?

Wenn du das ganze mal aufzeichnest (oder auch nur vorstellst), dann siehst du doch, das die Pyramide schön symmetrisch um die z-Achse angeordnet ist. Schau einfach mal die Koordinaten der Punkte

A, B, C

und

D

an. Es braucht in diesem Fall also wirklich nur mit einer einzigen Ebene gerechnet zu werden, weil ja alles Andere symmetrisch ist. Kein Gleichungssystem!

Gruss

Paul

Nova12 aktiv_icon

13:57 Uhr, 02.06.2012

Danke, passt soweit ;-)

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