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Abstand von Ebene zu Koordinatenursprung

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angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

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Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Kreuzprodukt, Matrizenrechnung, Normalenvektor, Skalarprodukt, Vektorgeometrie, Vektorraum

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ThePrestige

ThePrestige aktiv_icon

18:48 Uhr, 08.07.2018

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Guten Abend,

Folgende Aufgabenstellung:

Berechnen Sie den Abstand der Ebene

(0, 2, 2) + t \cdot (1, 1, - 1) + r \cdot (- 2, 0, 1)

vom Koordinatenursprung.

Ich habe mir aufgeschrieben, dass diese Aufgabe mit der allgemeinen Distanzformel berechnet werden kann. (Formel im Anhang).

1. Kann mir jemand sagen wie das geht?
2. Kann mir jemand die Musterlösung genauer erklären? Ich verstehe sie nur schwammig (Anhang).

distanzformel

loesung-9c

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Flächeninhalte
Skalarprodukt
Vektorprodukt

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

DerDepp

DerDepp aktiv_icon

22:03 Uhr, 08.07.2018

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Hossa ;-)

Aus der Geradengleichung der Ebene

E

:

\vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})

kannst du direkt 2 Vektoren ablesen, die in der Ebene liegen:

{\vec{v}}_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}); {\vec{v}}_{2} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Mit Hilfe des Vektorproduktes kannst du daraus einen Vektor

\vec{n}

berechnen, der senkrecht auf

{\vec{v}}_{1}

und senkrecht auf

{\vec{v}}_{2}

steht, und damit senkrecht auf der Ebene

E

:

\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 - 0 \\ 2 - 1 \\ 0 + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})

Das is ein sog. Normalenvektor der Ebene. Die Länge von

\vec{n}

ist

\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6}

. Daher lautet ein Normaleneinheitsvektor der Ebene:

{\vec{n}}^{0} = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})

Dieser Normaleneinheitsvektor

{\vec{n}}^{0}

steht senkrecht auf der Ebene und hat die Länge

1

. Den Abstand der Ebene

E

vom Ursprung bekommst du nun, indem du irgendeinenen Punkt aus der Ebene wählst, etwa

(0, 2, 2)

, und auf den Normaleneinheitsvektor der Ebene projezierst. Das funktioniert mit der Skalarmultiplikation:

d = ∣ \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}) ∣ = ∣ \frac{1}{\sqrt{6}} (0 + 2 + 4) ∣ = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 6 = \sqrt{6}

Frage beantwortet

ThePrestige

ThePrestige aktiv_icon

23:44 Uhr, 08.07.2018

Antworten

Vielen Dank für die klaren Erläuterungen. Sie sind einfacher zu verstehen als der gegebene Lösungsweg.

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