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Abstand von Extremstellen zu einem Punkt

Schüler

Tags: Funktionschar

David663 aktiv_icon

20:32 Uhr, 27.09.2015

Hallo, ich bin neu hier also verzeiht mir wenn ich etwas falsch mache.
Mit folgender Funktionsschar beschäftige ich mich : fk(x) $= x^{2} -$ kx^3
Nun soll ich bestimmen welcher Extrempunkt den minimalen Abstand zu dem Punkt $P (\frac{0}{2})$ hat.
Leide habe ich nicht die geringste Ahnung was ich dabei tun musst und hoffe auf Hilfe.
Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

20:38 Uhr, 27.09.2015

1. Behandle $k$ wie eine Zahl oder Konstante.

2. Bestimme die Extrempunkte, indem Du die erste Ableitung Null setzt.

3. Bestimme den Abstand zu P. Das ist ein Ausdruck, in dem $k$ vorkommt. Betrachte diesen Ausdruck als Funktion von $k$ und ermittle seinen Tiefpunkt durch Nullsetzen der ersten Ableitung.

Wie weit hilft Dir das?
Wie weit kommst Du damit?

:-)

David663 aktiv_icon

21:00 Uhr, 27.09.2015

Erstmal danke :-D)
Also 1 und 2 verstehe ich, aber wie soll ich denn, den Abstand zu $P 0$ setzen? ich weiß ja nicht wie die Funktion aussieht.

Stephan4

21:06 Uhr, 27.09.2015

Betrachte den Abstand als Funktion von $a$ .

Du sollst nicht den Abstand Null setzen, sondern die erste Ableitung des Abstandes.

Was hast Du denn raus bekommen für 1 und 2?
Hast Du vielleicht die Lösung?
:-)

rundblick aktiv_icon

21:08 Uhr, 27.09.2015

.
$f_{k} (x) = x^{2} \cdot (1 - k \cdot x)$

Stephan4

23:38 Uhr, 27.09.2015

$[1] y (x) = x^{2} - a x^{3}$

Extrempunkt bestimmen:
$[2] y' = 2 x - 3 a x^{2} = 0$
$[3] x_{1} = \frac{2}{3 a} (x_{2} = 0$ mit Abstand 2 von $P)$

In $[1]$ einsetzen (zur späteren Abstandberechnung):
$[4] y (\frac{2}{3 a}) = {(\frac{2}{3 a})}^{2} - a \cdot {(\frac{2}{3 a})}^{3} = \frac{4}{27 a^{2}}$

Der Extrempunkt ist also:
$[5] E (\frac{2}{3 a} | \frac{4}{27 a^{2}})$

Ermitteln des Abstandes $d = \bar{E P}$ als Funktion von $a :$
$[6] d (a) = \sqrt{{(\frac{2}{3 a})}^{2} + {(\frac{4}{27 a^{2}} - 2)}^{2}}$

Extremwerte von $d$ durch Null setzen der Ableitung finden:
$[7] d' (a) = \frac{2 (\frac{2}{3 a}) (- \frac{2}{3 a^{2}}) + 2 (\frac{4}{27 a^{2}} - 2) (- 2 \cdot \frac{4}{27 a^{3}})}{\sqrt{...}} = 0$

Für dieses a ist der Extremwert des Abstandes:
$[8] a = \sqrt{\frac{8}{27}} = 0,5443$

Das in $[5], [6]$ und $[1]$ einsetzen:
$[9] E (1,2247 | 0,5000)$
$[10] d = 1,9365$
$[11] y = x^{2} - 0,5443 x^{3}$

Mal schnell nachrechnen:
$[12] y' = 2 x - 1,6329 x^{2} = 0$
$[13] x = 1,2247 E (1,2247 | 0,5000)$
$[14] \bar{E P} = 1,9365$

Passt.
:-)

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