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Abstand windschiefer Geraden - Punkte berechnen!
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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Hallöchen! Ich bereite mich gerade auf mein Mathe-LK-Abi am Mittwoch vor und bin auf ein kleines Problemchen gestoßen! Hoffentlich kann mir jemand helfen. Es geht darum, wie ich die Punkte bei windschiefen Geraden berechne, die den kürzesten Abstand voneinander haben. Der Abstand selbst ist kein Problem... Ich habe probiert, über den Betrag zweier Punkte der Geraden zu gehen und die entstehende Gleichung abzuleiten (quasi, das ganze Problem wie eine Extremwertaufgabe zu behandeln), aber es sind ja zwei Parameter in der Gleichung... Wäre nett, wenn mir das jemand erläutern könnte! Hier zwei Beispielgerade: g: x = (14/-4/0) + r (-2/0/1) h: x = (-15/0/-4) + s (2/1/0) |
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Hi, da es ohne Schaubild schwer zu erklären ist,habe ich mal ein wenig gesucht und folgende Erklärung gefunden sites.inka.de/picasso/Cappel/abstand.html es gibt noch viele weitere, mal selbst googeln gruß realtabaluga |
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Da steht nur was zum Abstand der Geraden selbst... aber den kann ich ja berechnen! Problem waren DIE Punkte, die den kürzesten Abstand voneinandert haben! Aber es hat sich bereits geklärt... Hab noch nen Lösungsweg gefunden! Trotzdem Danke! Wünscht mir Glück für morgen ;-) |
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Hallo, die beiden Punkte auf den beiden Geraden, die den geringsten Abstand voneinander haben, ergeben sich unmittelbar aus der Abstandsberechnung, d.h. man berechnet Punkte und Abstand quasi in einem Abwasch. Zunächst mal eine grundsätzliche Betrachtung: Wenn man eine Gerade hat und einen Punkt außerhalb der Gerade (daß dieser Punkt auf einer anderen windschiefen Gerade liegt ist dabei irrelevant), dann gibt es auf dieser Geraden einen Punkt, der dem Punkt außerhalb der Geraden am nächsten ist. Der Vektor, der durch diese beiden Punkte bestimmt ist, steht orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden. Ist der Punkt außerhalb der Geraden der Punkt, der zu den beiden mit dem kleinsten Abstand gehört, dann ist der gefundene Punkt der andere dieser beiden. Macht man sich die selben Gedanken von diesem Punkt aus, dann stellt man fest, daß der Vektor dieser beiden Punkte auch auf dme Richtungsvektor der anderen Geraden orthogonal steht. Fazit: Der Richtungsvektor, der durch die Punkte der beiden Geraden gebildet wird, die den kleinsten Abstand haben, steht orthogonal auf den Richtungsvektoren der beiden Geraden. Wir suchen zunächst einen Richtungsvektor für unsere beiden Punkte, das ist ein Vektor, dessen Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren jeweils Null ergibt. Dieser Vektor hat die Komponenten x_1, x_2 und x_3: -2*x_1 + 0*x_2 + 1*x_3 = 0 2*x_1 + 1*x_2 + 0*x_3 = 0 Wenn die Struktur der Richtungsvektoren nicht bei x_2 und x_3 bereits die Normalform hätte, müßte man jetzt den Gauß-Algorithmus anwenden, können wir uns in diesem Spezialfall also schenken. Eine Lösung ist: x_3 = 2*x_1 = -x_2 Der Vektor (1/-2/2) erfüllt die Gleichung. Jetzt erfüllen die beiden gesuchten Punkte ja zwei Gleichungen: Erstens die Geradengleichung der Gerade, auf der sie liegen und zweitens die zusätzliche Gleichung, die sich aus der Geradengleichung des anderen Punktes und einem Vielfachen des gefundenen Richtungsvektors ergeben. Diese vier Gleichungen notieren wir mal. x_g = (14/-4/0) + r*(-2/0/1) = (-15/0/-4) + s*(2/1/0) - t*(1/-2/2) x_h = (-15/0/-4) + s*(2/1/0) = (14/-4/0) + r*(-2/0/1) + t*(1/-2/2) wobei hier r und s die Parameter sind, die zu den beiden Punkten gehören, die wir suchen, d.h. r und s sind feste Werte, die wir nur noch berechnen müssen. Der Parameter t taucht einmal mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen auf, weil der Vektor zwischen den beiden Punkten einmal in der einen und das andere Mal in der anderen Richtung benutzt wird. Was man sieht ist, daß die beiden entstehenden Gleichungen (die beiden rechten Terme beider Zeilen) identisch sind, wenn man sie umstellt. Wir stellen deshalb die erste Gleichung mal so um, daß links nur noch konstante Vektoren stehen und rechts nur noch parametrisierte, und wir machen das gleich für die einzelnen Komponenten der Vektoren separat. 14 + 15 = -r*(-2) + s*2 - t*1 -4 - 0 = -r*0 + s*1 - t*(-2) 0 - (-4) = -r*1 + s*0 - t*2 Das fassen wir mal alles zusammen und schreiben das in der gewohnten Form, d.h. zuerst die bekannten Konstanten und dann die Unbekannten (=Parameter). 29 = 2*r* + 2*s - 1*t -4 = 0*r + 1*s + 2*t 4 = -1*r + 0*s - 2*t Für den Gauß-Algorithmus ist hier durch die Vorgaben schon schön vorgearbeitet worden, machen wir also einfach weiter: 29 = 2*r* + 2*s - 1*t ; das 2-fache der 3-ten Zeile addieren -4 = 0*r + 1*s + 2*t 4 = -1*r + 0*s - 2*t 37 = 0*r* + 2*s - 5*t ; das 2-fache der 2-ten Zeile subtrahieren -4 = 0*r + 1*s + 2*t 4 = -1*r + 0*s - 2*t 45 = 0*r* + 0*s - 9*t ; diese Zeile durch (-9) dividiert -4 = 0*r + 1*s + 2*t 4 = -1*r + 0*s - 2*t -5 = 0*r* + 0*s + 1*t -4 = 0*r + 1*s + 2*t ; das 2-fache der 1-ten Zeile subtrahieren 4 = -1*r + 0*s - 2*t ; das 2-fache der 1-ten Zeile addieren -5 = 0*r* + 0*s + 1*t 6 = 0*r + 1*s + 0*t -6 = -1*r + 0*s + 0*t Als Lösungen ergeben sich: r = 6 s = 6 t = -5 Mit r und der Geradengleichung für g errechnet man sich den Punkt x_g. Mit s und der Geradengleichung für h errechnet man sich den Punkt x_h. Mit t und dem Richtungsvektor (1/-2/2) errechnet man sich einen der beiden Vektoren (der eine ist "hin", der andere "rück") zwischen den beiden Punkten und die Länge des Vektors ergibt den Abstand der beiden Punkte und damit der beiden Geraden. x_g = (14/-4/0) + 6*(-2/0/1) = (14/-4/0) + (-12/0/6) = (2/-4/6) x_h = (-15/0/-4) + 6*(2/1/0) = (-15/0/-4) + (12/6/0) = (-3/6/-4) |(-5)*(1/-2/2)| = |(-5/10/-10)| = sqrt((-5)^2 + 10^2 + (-10)^2) = sqrt(25 + 100 + 100) = 15 |
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