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Abstand zu Punkten

Schüler

Tags: Vektorgeometrie

Joshua2 aktiv_icon

17:10 Uhr, 02.11.2025

Gesucht sind Punkte, die in der x1-x2 Ebene liegen und deren Abstand zu A(2|-3|0) doppelt so weit ist wie zu B(3|2|0)

Einen Punkt P1 (8/3|1/3|0) bekommt man durch Bildung einer Geraden durch A und B

Aber wie kommt man auf weitere Punkte. Weitere Punkte, die auf einer Geraden, die senkrecht zur Strecke AB durch P1 verlaufen erfüllen die Bedingung offenbar nicht.

Und mit dem Ansatz |P(x|y|0) - A| = 2*|B - P(x|y|0)| erhalte ich keine richtige Lösung. Der Ansatz sollte aber doch stimmen. Rechenfehler?

|(x|y|0) - (2|-3|0) | = 2* |(3|2|0) - P(x|y|0)|
|(x-2|y+3|0) | = 2* |(3-x|2-y|0)|
√((x-2)²+(y+3)²) = 2* √((3-x)² + (2-y)²)
√((x²-4x + 4)+(y²+6y+9)) = 2* √((x²-6x+9) + (y²-4y+4))
√(x²+y²-4x +6y+13) = 2* √(x²+ y²-6x-4y+13) | quadrieren
x²+y² -4x +6y+13 = 4*(x²+ y²-6x-4y+13)
x²+y² -4x +6y+13 = 4x²+ 4y²-24x-8y+52

0 = 3x²+ 3y²-20x-14y+39

y = 1/3
=> 3x² + 1/3 -20x - 14/3 +39 = 0
=> 3x² -20x -13/3 = 0
x = -0,21 und x = 6,8767

x müsste aber 8/3 also 2,667 sein

Korrekturversuch:

x²+y² -4x +6y+13 = 4*(x²+ y²-6x-4y+13)
x²+y² -4x +6y+13 = 4x²+ 4y²-24x-16y+52

0 = 3x²+ 3y²-20x-22y +39

y = 1/3
=> 3x² + 1/3 -20x - 22/3 +39 = 0
=> 3x² -20x - 21/3 + 39 = 0
x = 8/3 und x = 4

stimmt so wohl .....müsste man auch mit der Kreisgleichung oder dem Satz des Pythaguras lösen können

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathadvisor aktiv_icon

19:01 Uhr, 02.11.2025

Deine letzte Rechnung (ab "Korrekturversuch") stimmt. Die Wahl y=1/3 liefert zwei Punkte, aber andere Werte für y liefern weitere Punkte.
Wie lautet denn die Aufgabe im Original?

Joshua2 aktiv_icon

19:21 Uhr, 02.11.2025

Man sollte nur zwei mögliche Punkte bestimmen, die von A und B ensprechend entfernt sind.
Die Gleichung 0 = 3x²+ 3y²-20x-22y +39 beschreibt auch einen Kreis. Alle Punkte, die im doppelten Abstand zu A im Vergleich zu B liegen, leigen also auf einem Kreis. Das war aber nicht gefragt.

mathadvisor aktiv_icon

20:09 Uhr, 02.11.2025

So ist es. Mit quadratischer Ergänzung erhält man:

⅓ (3 x ² + 3 y ² - 20 x - 22 y + 39) = (x - \frac{10}{3})^{2} + (y - \frac{11}{3})^{2} - \frac{104}{9}

, also ein Kreis um

(\frac{10}{3}, \frac{11}{3})

mit Radius

\frac{\sqrt{104}}{3}

Roman-22

22:39 Uhr, 02.11.2025

Wenn es, wie in der Angabe formuliert, nur um zwei mögliche Positionen mit

\bar{A P} = 2 \cdot \bar{B P}

geht, dann wäre es doch am einfachsten, nur die zwei Punkte, welche auf der Geraden

A B

liegen, zu bestimmen.
Den Punkt

P_{1}

mit

\vec{A P_{1}} = 2 \cdot \vec{P_{1} B} = \frac{1}{3} \vec{A B}

hast du ja schon bestimmt:

\vec{O P_{1}} = \vec{O A} + \frac{2}{3} \cdot \vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 0 \end{matrix}),

also

P_{1} (2, \bar{6} / 0, \bar{3} / 0)

Analog und im Grunde noch einfacher lässt sich auch der zweite Punkt mit

\vec{A P_{1}} = 2 \cdot \vec{B P_{2}}

bestimmen mit

\vec{O P_{2}} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}),

also

P_{2} (4 / 7 / 0)

Da geht's im Grunde nur um innere und äußere Teilung.

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