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Abstand zwischen Ebene und Punkt auf Gerade

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ebenengleichung, Koordinatenform, Vektor, Vektoren im Raum

MerlinH aktiv_icon

23:59 Uhr, 26.11.2018

Hallo!

gegebene Informationen (teilweise aus vorherigen Aufgaben):

A (5 | 1 | - 1), B (2 | 10 | 1), C (- 7 | 7 | 1), D (- 4 | - 2 | - 1)

Rechteck ABCD stellt eine Landebahn dar und liegt auf der Ebene mit der Koordinatenform

- x + 3 y - 15 z = 13

Zum Zeitpunkt

t

befindet sich das 1. Flugzeug an dem durch

x (t) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 46 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ - 1 \end{matrix})

beschriebenen Punkt.
Mittelpunkt des Rechtecks und Schnittpunkt der Gerade

x (t)

mit dem Rechteck:

(\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

c)

Spätestens, wenn das Flugzeug von der Ebene

E

(ABC) einen Abstand vom Betrag

10

hat, muss es ein Manöver einleiten, um einen günstigeren Landewinkel zu erhalten. Bestimme diesen Zeitpunkt. Beachte dabei, dass das Flugzeug sich ständig auf der Ursprungsseite der Ebene befindet.

d)

Ein zweites Flugzeug befindet sich am Zeitpunkt

t

am Punkt

y (t) = (\begin{matrix} - 21 \\ 16 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Zeige, dass beiede Flugbahnen sich im Punkt

S (- 1 | - 16 | 2)

schneiden.

Zerbreche mir hier schon ne Weile den Kopf darüber. Wäre super, wenn mir das kurz einer erklären könnte.
Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Mathe45

00:43 Uhr, 27.11.2018

Zum Zeitpunkt

t

hat das Flugzeug den Ortsvektor

F = (\begin{matrix} - 1 \\ - 46 + 10 \cdot t \\ 5 - t \end{matrix})

Gleichung der Ebene

: - x + 3 \cdot y - 15 \cdot z - 13 = 0

Setze die Koordinaten von

F

in die HNF der Ebene ein und setze das

= 10

Berechne daraus

t

Aurel

01:07 Uhr, 27.11.2018

c)

setze

x (t)

in die Hessesche Normalform, also in

\frac{- x + 3 x - 15 z - 13}{\sqrt{1^{2} + 3^{2} + 15^{2}}} = - 10

ein
und berechne

t

- 10 ... .

. Minus weil Ursprung und

x (t)

auf der gleichen Seite der Ebene laut Angabe
also: Nullpunkt eingesetzt in

- x + 3 x - 15 z - 13

ergibt etwas Negatives

(- 13),

somit muss

x (t)

eingesetzt in

- x + 3 x - 15 z - 13

auch etwas Negatives ergeben, wenn

x (t)

und Nullpunkt auf der gleichen Seite liegen sollen.

d)

setze

x (t_{1}) = y (t_{2})

.........das ergibt 3 Gleichungen mit nur 2 Variablen

t_{1}, t_{2}

Berechne

t_{1}

bzw.

t_{2}

Setze

t_{1}

bzw.

t_{2}

ins

x (t_{1})

oder

y (t_{2})

ein und du solltest nun

S

erhalten

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