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Abstand zwischen zwei Kurven
Universität / Fachhochschule
Tags: Abstand, Approximation, Geometrie
 
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Hallo, wenn ich eine Kurve durch eine andere Kurve approximieren will, wie muss ich den Fehler bestimmen, um zu entscheiden wie gut die Approximation ist? Gruß  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo Hmmmmmmm, aus deinen Worten und Skizze könnte man natürlich eine ganze Handvoll an Ansätzen, Vermutungen und Thesen anstellen. Ich nehme mal an, du hast zwei Funktionen, nennen wir sie mal: für eine (komplexe) Original-Funktion, für eine (vereinfachte) Approximation. die trivialste (aber keinenfalls mathematisch einfachste): Fehler= unter dem Begriff "Fehlerquadrate": Fehler Wer schon ein paarmal damit gearbeitet hat, weiß oder ahnt, dass dieses Quadrat meist nur am Anfang komplizierter als aussieht, sich aber in der Verarbeitung dann meist wesentlich angenehmer (linearer) händeln lässt. Wenn du dann eine Approximation in einem gewissen Intervall im Sinn hast, dann lauten die entsprechenden Schulbuch-Algorithmen meist in Richtung: Minimierung von: im entsprechenden Intervall Aus deiner Skizze mag man vermuten, dass du eine geometrische Annäherung anpeilst. 'geometrisch' möchte ich hierbei so verständigen, dass die Graphen (Funktionen) eine Geometrie beschreiben, und in Ordinaten- und Abszissen-Richtung die gleichen geometrischen Maßstäbe und Einheiten gelten, nämlich eben typischerweise Wege (Strecken). Dann - hast du schon einen grünen und einen roten Kreis angedeutet. Sehr richtig, weil streng mathematisch der (grüne) Abstand senkrecht der oberen Funktion (vielleicht zu ein anderer ist, als der (rote) Abstand senkrecht zur unteren Funktion (vielleicht zu ist. Mach dir klar: Das ist bei Fehler-Quadrat-Minimierung sehr typisch! Du wirst bei jeder Approximation einen Ansatz wählen müssen und feststellen, dass dein Approximations-Ergebnis abhängig vom Ansatz ist. I.a.W: deine Approximation wird vielleicht sehr ähnlich aussehen, aber prinzipiell doch vom Ansatz abhängig bleiben. Soweit mal zum Gedanken-Tauschen und Verständigung suchen. Mehr Aufwand, Vertiefung oder Umfang dann ggf. wenn wir besser einig werden, was du wirklich im Sinn hast... |
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Konkret will ich eine Ellipse mit Kreissegementen C_1 stetig annähern. Dabei will ich nach Anzahl der einzelsegmente arbeiten. Quasi 1 Kreissegment -> beste Aprroximation finden, wenn gut genug fertig, sonst nimm 2 Kreissegmente her und so weiter... Dabei betrachte ich nur ein Ellipsenviertel, weil den Rest kann ich spiegeln. Damit überspringe ich zwar alle Anzahlen k wo k nicht durch 4 teilbar ist, aber das empfand erstmal als notwendig um überhaupt in Gang zu kommen. Nun habe ich gehofft da gibt es ein universelles Kriterium für, also eigentlich wie du sagst wenn man in der Physik eine Funktion an Messdaten fittet, das macht man glaub ich auch so wie du beschrieben hast mit den Abstandquadraten. Nur da sinds ja halt endlich viele Punkte. Aber ich habe mir zu diesem Ansatz mal Formeln rausgesucht in der Hoffnung, das dann nachher irgendwie mit nem Integral hinzukriegen. Erstmal wie konstruiere ich die Kreissegmente: Gegeben ist ein Ellipsenviertel mit großer Halbache A ( entlang X-Achse) und kleiner Halbachse B (erster Quadrant, also ) Dann wähle ich für N Kreissegmente 2N+1 Parameter: mit r sind die Radien der Kreissegemente, alpha die aufgespannten Winkel. Dabei gelten , Mittelpunkte der Kreise ergeben sich dann zu (Startkreis immer auf x-Achse) und aus der C1 Stetigkeit wobei der Einheitsrichtungsvektor Ja und nun der abenteuerliche Teil (hab ich nicht hergeleitet sondern mit google zusammen geschustert): Meine Kreissegemente nach Y umgestellt ( y-Komponenete aus ): und die Ellipse nach Y umgestellt: Nach erster Überlegung kann ich denke ich auch noch davon ausgehen, dass x_0 + r_0 < A immer eine bessere Approximation gibt als x_0 + r_0 > A. Dann müsste ich die Differenzen der Funktionen bilden und dann den Betrag finden bzw. an dieser Stelle sagst du einfach die Differenz quadrieren, oder? Ja und dann eben mit nem Integral die Intervalle durchforsten. Die Intervalgrenzen ergeben sich widerum aus den Kreissegmenten und A aber das muss ich auch noch erst tüfteln, sollten diese Ideen denn nicht ohnehin vergebens sein. (Nach ein paar Konstruktionen, die ich gemacht habe sollte ich mit 3 bis 5 Kreissegmenten schon gut hinkommen.)  |
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Ich entnehme deinen letzten Andeutungen, dass du geometrische Größen im Sinn hast. Also tatsächlich: x-Größen = y-Größen mit gleichem Maßstab. Dann wär's der Verständigung noch dienlich, wenn du wirklich zu verstehen gibst, was gegeben ist. Du sprichst von 'Ellipsen'. Kennst du die Funktionsgleichungen der Ellipsen? Oder hast du eine endliche Anzahl von Punkten, die 'ungefähr' auf Ellipsen-Positionen liegen? |
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Deine erste Anmerkung kann ich nicht ganz deuten. Maßstäbe habe ich nicht, und x = y da weiß ich überhaupt nicht wohin damit. Gegeben hatte ich geschrieben: Gegeben ist ein Ellipsenviertel mit großer Halbachse A ( entlang X-Achse) und kleiner Halbachse B (erster Quadrant, also 0≤θ≤90°) Ja also sagen wir heute brauch ich A = 100mm, B = 60mm, maximale Abweichung halber Millimeter, dann krieg ich raus ist mit 3 Kreissegmenten hinzukriegen, und so und so is der Radius und die Aufspannwinkel dann zu wählen wies die Approximation eben rausgerückt hat. Keine Punktemenge, krieg überall bisher ganze Kurven/Formeln raus. Das Verfahren von den Vorgaben zu den Ausgaben, da tüftel ich dran, und da fehlt mir das Verständis wie ich aus einer möglichen Auswahl Parameter den Fehler quantitativ zur theoretischen Ellipse bestimme. WEiterer Hintergrund: Ich kann die Ellipse nicht als Ellipse einfach ausgegeben, das ist der Maschine wohl zu modern. Kreisbögen ist das höchste der Gefühle. |
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Jetzt verstehe ich aus deinen Ausführungen, dass du echt geometrisch denkst, also ein Schritt in x-Richtung entspricht einem Meter, und ein Schritt in y-Richtung entspricht einem Meter. (Nur zum Verständnis: Mit unterschiedlichem Maßstab wäre zB. gemeint, wenn du in x-Richtung vielleicht die astronomischen Abstände zwischen Sternen darstellen wolltest, in y-Richtung dagegen die Sprungweite von Fröschen, . das eine in Lichtjahren, das andere in Zentimetern, und dennoch in einem praktikablen Maßstab auf ein DinA4 -Papier bannen wolltest) . soweit. Dann kann man das gewiss mit Minimal-Fehler-Methoden angehen, oder mit Verständnis für Geometrie auch einfach per Schmiegekreise. große Halbachse A (entlang x-Achse), und kleine Halbachse (entlang y-Achse), heisst dann wohl: Dann weiß man aus Geometrie: Schmiegekreis an großer Halbachse (im Punkt Schmiegekreis an kleiner Halbachse (im Punkt Krümmungsradius in beliebigem Punkt Steigung in beliebigem Punkt Damit solltest du auch ohne Fehlerquadrate in Winkelsektoren und deren zugehörige Kreissektoren unterteilen können, und beliebig verdichten können, bis es deinen Fehleransprüchen genügt. Nur mal so als Vorschlag der Hoffnung, dass das vielleicht schneller / praktikabler zu befriedigendem Vorgehen führt, als Fehlerquadrat-Approximationen). |
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Deine Formeln für die Schmiegekreise kenn ich, die helfen mir gute Startwerte für die Iteration zu finden, aber ansonsten weiß ich noch nicht wie das zu meinem Vorgehen passt. Es geht auch nicht drum ein Ergebnis zu bekommen (da bist du glaub dran) (ich könnte mir ja auch einfach Zahlen aus Finger saugen ersmal), sondern dieses Ergebnis zu bewerten (wie groß is denn nu der Unterschied) Hattest du mal geschaut, ob das was ich bisher hatte denn wenigstens hinhaut? |
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Ich nehme an, dass du das programmieren willst. Folglich darf ich wohl davon ausgehen, dass du auch numerisch integrieren wirst / willst. Da würde sich wohl anbieten: polares Koordinatensystem einführen, Fehler: R_ellipse - R_approxKreis (bezüglich Ellipsen-Mittelpunkt) Fehlerquadrat: Dann ist das Integral ein gutes Maß für den Fehler, bzw. wenn man so will könnte man als Standardabweichung werten. |
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Jau, mit Zettel und Stift hab ich das nicht so. Dein Vorschlag mit den Radien kann nicht klappen, da krieg ich bei mehr oder weniger gleichen Abständen zwischen den Kurven ganz unterschiedliche Ergebnisse wenn ich die Radien an den Stellen hernehme und von einander abziehe. Oder du meinst den Abstand zum Zentrum beider Kurven. Das find ich auch irgendwie nicht so prickelnd, weil da weiß ich nicht wie sich das Eine zum Anderen zuordnet, da muss ja der Ellipsenwinkel irgendwie mit dem Kreissegment interagieren, das muss bei schlechten Approximationen aber nicht der Fall sein bzw. wie da der Zusammenhang ist und deshalb weiß ich nicht, ob das bei guten Approximationen nicht auch was verzerrt. Oder verstehe ich das falsch?   |
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Jau, mit vielen Worten ohne eine passende Skizze hab ich das nicht so. Ich sehe keinen Grund, warum es mit den Radien zwingend nicht klappen könnte. Ich biete mal meine Skizze an. Darin: Eine Ellipse mit den Halbachsen A und (blau), ein willkürlicher Punkt darauf, in diesem Punkt kannst du die Steigung ermitteln, in diesem Punkt kannst du den Krümmungsradius ermitteln, und hieraus den Kreismittelpunkt geometrisch eindeutig bestimmen, (zur Erklärung: ich habe in einen kleinen Abstand zwischen Ellipse und Kreis gelassen, aber nur zur Veranschaulichung & optischen Trennung; für deine endgültigen Zwecke wird naheliegenderweise in der Kreis genau in einem Punkt tangential und gleich-gekrümmt an der Ellipse anliegen.) und mit braunen Hilfslinien einen Winkelbereich angedeutet, in dem diese Approximation Ellipse =ca. Kreis gelten soll, schließlich einen willkürlichen Punkt sagen wir mal auf der Ellipse, im Polarkoordiantensystem liegt Punkt unter dem Winkel unter diesem Winkel könnte man den Radius Ursprung Kreis-seitig erfassen, und der Fehler ist in diesem Modell die Differenz Kreis-seitig <zu> Ellipsen-seitig. Das klingt für meine Ohren nicht unpraktikabel.  |
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Ok, ich nehms mal so hin, aber die Linie Urspung Ellipse <> Z muss nicht zwingend den Kreis schneiden, und was macht man damit? Dafür hatte ich eine Skizze im Vorpost bereitgestellt, das Kreissegment muss nur einen viel zu kleinen Radius haben. Auch verstehe ich nicht wie du Punkte sicher auswählst, sodass die Übergänge C_1 stetig sind. Meinen Versuchen nach ist das nichtmal möglich, wenn die Kreissegmente die Ellipse alle tangential berühren müssten. In der besten Approximation für ein bestimmtes N>1, müssen die Kreissegmente allesamt die Ellipse schneiden, bzw. die mittleren zweimal. Aus meiner Sicht gehst du an das Problem von hinten dran. Ich habe eine gewisse Generationskette für die Parameter, die ich mir aus einem mehr oder weniger willkürlich gewählten Startpunkt, Symmetrie und C_1 Stetigkeit herleite. Ich habe nochmal eine Skizze angefügt, die das zeigt. Konstruktion in der Reihenfolge: weiß, rot, orange, grün. Sorry dass die Label alle hochkant stehen. Da sich viele relevante Strecken überlagern, habe ich Behilfsweise die gemeinte Strecke nochmal etwas versetzt daneben platziert, wo nötig und den kleinen Unterschied zwischen und A noch mal etwas vergrößert mit Hilfslinien angedeutet. Ich habe nun erstmal deine Idee mit den Funktionsabständen aus dem ersten Post aufgegriffen Für sind die Grenzübergänge , wobei das erste Interval und das letzte Interval (bzw. genau andersrum, weil ich ja zum Zentrum hinarbeite) Sofern die Funktionen stimmen kann ich dann über diese Intervalle integrieren und anschließend summieren. Weiters is mir aufgefallen, dass der letzte Radius nicht frei wählbar ist, sondern damit Ich denke ich probiere das als nächstes Mal aus einzuhacken.  |
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Irgendwie sprechen wir aber auch aneinander vorbei... "...aber die Linie Urspung Ellipse muss nicht zwingend den Kreis schneiden" Wenn ich dich wörtlich nehme: Doch, ganz gewiss, und offensichtlich. Ich muss zugeben, dass ich den Bezeichner ein wenig schlampig sowohl Ellipsen-seitig angerissen als auch Kreis-seitig angerissen hatte, im Text aber eindeutig dies auch ausgesprochen hatte. Wir können ja - falls es hilft - unterscheiden Ellipsen-seitig und Kreis-seitig. "und was macht man damit?" Na eben naheliegenderweise das Beschriebene (zur Definition eines Fehlers . "Auch verstehe ich nicht wie du Punkte . sicher auswählst, sodass die Übergänge stetig sind." Das ist ja jetzt auch eine völlig neue Forderung, von der du vormals nicht den Hauch einer Andeutung gegeben hast. Ich hatte einen Weg beschrieben, einen Fehler zu beschreiben, weil du das vormals ausdrücklich so betont und zum Ziel erklärt hast. Und das ist nach wie vor möglich. Deine Skizze jetzt auch wiederum legt optisch bestmöglich Kreise auf die Ellipse, ohne einen Hauch von Vorstellung zu vertiefen, wie du eben diesen Fehler (ich nannte ihn hieraus präzisieren willst. Vielleicht legst du dir nochmals die Karten und versuchst erstmal selbst Klarheit zu finden, was du wirklich willst. |
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"Das ist ja jetzt auch eine völlig neue Forderung, von der du vormals nicht den Hauch einer Andeutung gegeben hast." Das stimmt nicht (s. Post 3 erster Satz direkt), das Gefühl hatte ich vorher schon, dass du meine Posts nicht vollständig liest oder offensichtlich während des lesen wieder vergisst. Und dann ists ja auch nicht verwunnerlich wenn man aneinander vorbeiredet... Wohl eher red ich an dir vorbei. Ich versuch drauf einzugehen was du schreibst. "Deine Skizze jetzt auch 15:24h wiederum legt optisch bestmöglich Kreise auf die Ellipse, ohne einen Hauch von Vorstellung zu vertiefen, wie du eben diesen Fehler (ich nannte ihn ′f′) hieraus präzisieren willst." Ja genau! Ich beschreibe wie ich diese Kreise konstruiere und frage wie ich aus jener Konstruktion eine bestmögliche Fehleranalyse machen kann. Würde ich da schon präzisieren wie ich den Fehler ermittele, dann hätte ich keine Frage gehabt, u know? Weil ichs schlicht nicht weiß wie man Abstände zwischen Kurven bestimmt. |
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Ja Entschuldigung, C1-Stetigkeit hatte ich tatsächlich überlesen. Aber zum Ansatz Fehler sehe ich wiederum keinerlei Einschränkung, den genannten Vorschlag in irgendeiner Weise zu schwächen. Was verstehst du daran nicht? Was ist das Problem? Du musst ja nicht die (tangentiale) Übereinstimmung in tätigen. Der genannte Vorschlag ist für beliebige Kreise im Raum praktikabel. Du kannst den Mittelpunkt hin- und her-schieben, den Radius variieren... |
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3 Punkte, die ich nicht verstehe. Mal allgemein gehalten Abstand zum Ursprung Ellipse, da finde ich schon zwei verschiedene Formeln (1. Problem), die anscheinend beide ihre Daseins-Berechtigung haben. Kein Plan, welche besser wäre, ich nehm jetz einfach mal willkürlich im Weiteren, also den punktuellen Fehler zur Bestimmung ausgewählt. Dann hab ich ein Kreissegment gegeben Ab dieser Stelle wird für mich dann unklar wie du definierst, sodass (2. Problem) Nehmen wir weiters also als gegeben hin. Wo hol ich da nun noch her? (3. Problem) |
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Du hast aber schon eine besondere Gabe, wild Buchstaben und Bezeichner einzuführen, ohne zu erklären, was die bedeuten sollen... Ich bleib mal bei den Begrifflichkeiten, wie ich sie oben in meiner Skizze eingeführt und erklärt habe. Ich will hoffen, wir finden Einigkeit über die Dinge, die gegeben sind: Ellipsen-Halbachsen A und Kreis-Mittelpunkt Kreis-Radius Jetzt ahne ich, dass du den 'Fehler' an einer beliebigen Stelle errechnen willst. nehmen wir an, du nimmst als gegeben: die x-Koordinate: Dann sollte es doch leicht sein zu errechnen: y-Koordinate von Abstand Ursprung nun die Größen auf dem Kreis, dh. Winkel zwischen der x-Achse und der Verbindungslinie Ursprung geben wir dem Winkel Ursprung mal einen Namen: Abstand Ursprung Dann haben wir ein Dreieck Ursprung mit den bekannten Größen: Kreisradius Winkel also Kosinus-Satz (mit der gesuchten Seitenlänge Abstand Ursprung gemischt quadratische Gleichung ausrechnen. Fehler: Fertig! |
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"Du hast aber schon eine besondere Gabe, wild Buchstaben und Bezeichner einzuführen, ohne zu erklären, was die bedeuten sollen..." Zum Beispiel? "wir finden Einigkeit über die Dinge, die gegeben sind" Fehlen und , aber die brauchst du ja nicht. "Jetzt ahne ich, dass du den 'Fehler' ′f′ an einer beliebigen Stelle Z errechnen willst" Wenn ich den Gesamtunterschied zwischen zwei Kurven bestimmen will, wie täte ich das denn ohne den Unterschied an einer einzelnen Stelle zu berechnen? Analytische Lösung übersteigt meine Fähigkeiten. Und dann beschwerst dich übers aneinander vorbeireden und nimmst meine Bezeichnungen für andere Größen her... Wenn ich nun sage besteht Uneinigkeit darüber ob dein oder mein gemeint ist. Du berechnest aus einem Dreieck Ursprung-M- die Länge M-Z? Wohl kaum. Nehme mal an du meinst Dreieck Ursprung-M- Niemand zwingt dich zu helfen, aber so wie dus versuchst komm ich damit nicht weiter, das ist bewusst verwirrend und auch widersprüchlich unmotiviert. Und nu kommt das eigentliche Problem an deiner Herleitung von f: Ursprung <> Z ist entweder Ursprung <> oder Ursprung <> Damit gibt es also und und zwei verschiedene Dreiecke Ursprung-M-, Ursprung-M- Um mit dem Kosinussatz zu bestimmen brauchen wir Damit also zurück zu Nach meinem dafürhalten brauchen wir hier , denn mit wären , die Koordinaten von und nicht Fertig wärst du damit also nur wenn du sagst, bei guter Näherung ist was gleichbedeutend wäre mit . Der Unterschied dieser beiden Dreiecke ist aber genau der relevante Teil. |
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Die Betrachtungen sind erkennbar vorgeschlagen unter einem einzigen unveränderlichen Winkel ich hatte mich verholpert, bei: Es geht ums Dreieck Ursprung schließlich werden du / ich noch aufpassen müssen mit dem Vorzeichen vom Winkel alles andere ist stimmig und erklärt. |
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"alles andere ist stimmig und erklärt" Ein Dreieck hat nach meinem Verständnis 3 Ecken. Das Dreieck Urspung-M- mit den Ecken Ursprung, M und hat demnach keine Relation zu in deiner Beschreibung. Somit gibt es keine eindeutige Zuordnung von einem zu einem . Soviel dazu.  |
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Ich weiß nicht, wie du zu deinen wilden Theorien kommst. Die Punkte Ursprung liegen auf einer Geraden, wie in meiner Skizze aufgezeigt, unter Winkel und zwar auf dem von dir erklärten Kreis, und zwar auf der von dir erklärten Ellipse. |
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