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Abstand zwischen zwei Kurven

Universität / Fachhochschule

Tags: Abstand, Approximation, Geometrie

GeheimAgent001254 aktiv_icon

13:23 Uhr, 30.03.2026

Hallo,

wenn ich eine Kurve durch eine andere Kurve approximieren will, wie muss ich den Fehler bestimmen, um zu entscheiden wie gut die Approximation ist?

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade

calc007

15:12 Uhr, 30.03.2026

Hallo
Hmmmmmmm, aus deinen Worten und Skizze könnte man natürlich eine ganze Handvoll an Ansätzen, Vermutungen und Thesen anstellen.
Ich nehme mal an, du hast zwei Funktionen, nennen wir sie mal:

y_{1} \to

für eine (komplexe) Original-Funktion,

y_{2} \to

für eine (vereinfachte) Approximation.

1 .)

die trivialste (aber keinenfalls mathematisch einfachste): Fehler=

| y_{1} - y_{2} |

2 .)

unter dem Begriff "Fehlerquadrate":
Fehler

= {(y_{1} - y_{2})}^{2}

Wer schon ein paarmal damit gearbeitet hat, weiß oder ahnt, dass dieses Quadrat meist nur am Anfang komplizierter als

1 .)

aussieht, sich aber in der Verarbeitung dann meist wesentlich angenehmer (linearer) händeln lässt.

3 .)

Wenn du dann eine Approximation in einem gewissen Intervall im Sinn hast, dann lauten die entsprechenden Schulbuch-Algorithmen meist in Richtung:
Minimierung von:

\int {(y_{1} - y_{2})}^{2} \cdot d x

im entsprechenden Intervall

4 .)

Aus deiner Skizze mag man vermuten, dass du eine geometrische Annäherung anpeilst.
'geometrisch' möchte ich hierbei so verständigen, dass

>

die Graphen (Funktionen) eine Geometrie beschreiben,

>

und in Ordinaten- und Abszissen-Richtung die gleichen geometrischen Maßstäbe und Einheiten gelten, nämlich eben typischerweise Wege (Strecken).
Dann -
hast du schon einen grünen und einen roten Kreis angedeutet. Sehr richtig, weil streng mathematisch der (grüne) Abstand senkrecht der oberen Funktion (vielleicht

y_{1})

y_{2}

ein anderer ist, als der (rote) Abstand senkrecht zur unteren Funktion (vielleicht

y_{2})

y_{1}

ist.
Mach dir klar: Das ist bei Fehler-Quadrat-Minimierung sehr typisch! Du wirst bei jeder Approximation

>

einen Ansatz wählen müssen

>

und feststellen, dass dein Approximations-Ergebnis abhängig vom Ansatz ist. I.a.W: deine Approximation wird vielleicht sehr ähnlich aussehen, aber prinzipiell doch vom Ansatz abhängig bleiben.

Soweit mal zum Gedanken-Tauschen und Verständigung suchen.
Mehr Aufwand, Vertiefung oder Umfang dann ggf. wenn wir besser einig werden, was du wirklich im Sinn hast...

GeheimAgent001254 aktiv_icon

16:34 Uhr, 30.03.2026

Konkret will ich eine Ellipse mit Kreissegementen C_1 stetig annähern. Dabei will ich nach Anzahl der einzelsegmente arbeiten. Quasi 1 Kreissegment -> beste Aprroximation finden, wenn gut genug fertig, sonst nimm 2 Kreissegmente her und so weiter...
Dabei betrachte ich nur ein Ellipsenviertel, weil den Rest kann ich spiegeln. Damit überspringe ich zwar alle Anzahlen k wo k nicht durch 4 teilbar ist, aber das empfand erstmal als notwendig um überhaupt in Gang zu kommen.

Nun habe ich gehofft da gibt es ein universelles Kriterium für, also eigentlich wie du sagst wenn man in der Physik eine Funktion an Messdaten fittet, das macht man glaub ich auch so wie du beschrieben hast mit den Abstandquadraten.
Nur da sinds ja halt endlich viele Punkte.

Aber ich habe mir zu diesem Ansatz mal Formeln rausgesucht in der Hoffnung, das dann nachher irgendwie mit nem Integral hinzukriegen.

Erstmal wie konstruiere ich die Kreissegmente:
Gegeben ist ein Ellipsenviertel mit großer Halbache A ( entlang X-Achse) und kleiner Halbachse B (erster Quadrant, also

0 \leq θ \leq 90 °

)
Dann wähle ich für N Kreissegmente 2N+1 Parameter:

x_{0}, r_{k}, α_{k}

mit

0 \leq k < N

r sind die Radien der Kreissegemente, alpha die aufgespannten Winkel.
Dabei gelten

r_{k} > r_{k - 1}

α_{k} \leq 90 - \sum_{i = 0}^{k - 1} (α_{i})

Mittelpunkte der Kreise ergeben sich dann zu

\vec{m_{0}} = (x_{0}, 0)

(Startkreis immer auf x-Achse) und aus der C1 Stetigkeit

\vec{m_{k}} = \vec{m_{k - 1}} - (r_{k} - r_{k - 1}) \cdot \vec{e_{k}}

wobei der Einheitsrichtungsvektor

\vec{e_{k}} = (\cos (\sum_{i = 0}^{k - 1} (α_{i})), \sin (\sum_{i = 0}^{k - 1} (α_{i})))

Ja und nun der abenteuerliche Teil (hab ich nicht hergeleitet sondern mit google zusammen geschustert):
Meine Kreissegemente nach Y umgestellt (

y_{k}

y-Komponenete aus

\vec{m_{k}}

Y_{k} (x) = y_{k} + r_{k} \cdot \sqrt{1 - (\frac{x - x_{k}}{r_{k}})^{2}}

und die Ellipse nach Y umgestellt:

Y_{ε} (x) = B \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{A^{2}}}

Nach erster Überlegung kann ich denke ich auch noch davon ausgehen, dass x_0 + r_0 < A immer eine bessere Approximation gibt als x_0 + r_0 > A.

Dann müsste ich die Differenzen der Funktionen bilden und dann den Betrag finden bzw. an dieser Stelle sagst du einfach die Differenz quadrieren, oder?

Ja und dann eben mit nem Integral die Intervalle durchforsten. Die Intervalgrenzen ergeben sich widerum aus den Kreissegmenten und A aber das muss ich auch noch erst tüfteln, sollten diese Ideen denn nicht ohnehin vergebens sein.

(Nach ein paar Konstruktionen, die ich gemacht habe sollte ich mit 3 bis 5 Kreissegmenten schon gut hinkommen.)

calc007

17:38 Uhr, 30.03.2026

Ich entnehme deinen letzten Andeutungen, dass du geometrische Größen im Sinn hast. Also tatsächlich:

>

x-Größen = y-Größen

>

mit gleichem Maßstab.

Dann wär's der Verständigung noch dienlich, wenn du wirklich zu verstehen gibst, was gegeben ist.
Du sprichst von 'Ellipsen'.
Kennst du die Funktionsgleichungen der Ellipsen?
Oder hast du eine endliche Anzahl von Punkten, die 'ungefähr' auf Ellipsen-Positionen liegen?

GeheimAgent001254 aktiv_icon

18:07 Uhr, 30.03.2026

Deine erste Anmerkung kann ich nicht ganz deuten. Maßstäbe habe ich nicht, und x = y da weiß ich überhaupt nicht wohin damit.

Gegeben hatte ich geschrieben:
Gegeben ist ein Ellipsenviertel mit großer Halbachse A ( entlang X-Achse) und kleiner Halbachse B (erster Quadrant, also 0≤θ≤90°)

Ja also sagen wir heute brauch ich A = 100mm, B = 60mm, maximale Abweichung halber Millimeter, dann krieg ich raus ist mit 3 Kreissegmenten hinzukriegen, und so und so is der Radius und die Aufspannwinkel dann zu wählen wies die Approximation eben rausgerückt hat.
Keine Punktemenge, krieg überall bisher ganze Kurven/Formeln raus.

Das Verfahren von den Vorgaben zu den Ausgaben, da tüftel ich dran, und da fehlt mir das Verständis wie ich aus einer möglichen Auswahl Parameter den Fehler quantitativ zur theoretischen Ellipse bestimme.

WEiterer Hintergrund: Ich kann die Ellipse nicht als Ellipse einfach ausgegeben, das ist der Maschine wohl zu modern. Kreisbögen ist das höchste der Gefühle.

calc007

18:25 Uhr, 30.03.2026

Jetzt verstehe ich aus deinen Ausführungen, dass du echt geometrisch denkst,
also ein Schritt in x-Richtung entspricht einem

(~)

Meter,
und ein Schritt in y-Richtung entspricht einem

(~)

Meter.

(Nur zum Verständnis:
Mit unterschiedlichem Maßstab wäre zB. gemeint, wenn du
in x-Richtung vielleicht die astronomischen Abstände zwischen Sternen darstellen wolltest,
in y-Richtung dagegen die Sprungweite von Fröschen,

d . h

. das eine in Lichtjahren,
das andere in Zentimetern,
und dennoch in einem praktikablen Maßstab auf ein DinA4 -Papier bannen wolltest)

O . k

. soweit.
Dann kann man das gewiss mit Minimal-Fehler-Methoden angehen,
oder mit Verständnis für Geometrie auch einfach per Schmiegekreise.
große Halbachse A (entlang x-Achse),
und kleine Halbachse

B

(entlang y-Achse),
heisst dann wohl:

y = \pm \frac{B}{A} \cdot \sqrt{A^{2} - x^{2}}

Dann weiß man aus Geometrie:
Schmiegekreis an großer Halbachse (im Punkt

[x = A; y = 0]) :

R = \frac{B^{2}}{A}

Schmiegekreis an kleiner Halbachse (im Punkt

[x = 0; y = B]) :

R = \frac{A^{2}}{B}

Krümmungsradius in beliebigem Punkt

[x; y] :

R (x) = \frac{{(A^{4} - A^{2} \cdot x^{2} + B^{2} \cdot x^{2})}^{1,5}}{A^{4} \cdot B}

Steigung in beliebigem Punkt

[x; y] :

\frac{d y}{d x} = \pm \frac{A \cdot B}{{(A^{2} - x^{2})}^{1,5}}

Damit solltest du auch ohne Fehlerquadrate in Winkelsektoren und deren zugehörige Kreissektoren unterteilen können, und beliebig verdichten können, bis es deinen Fehleransprüchen genügt.
Nur mal so als Vorschlag

(\in

der Hoffnung, dass das vielleicht schneller / praktikabler zu befriedigendem Vorgehen führt, als Fehlerquadrat-Approximationen).

GeheimAgent001254 aktiv_icon

19:20 Uhr, 30.03.2026

Deine Formeln für die Schmiegekreise kenn ich, die helfen mir gute Startwerte für die Iteration zu finden, aber ansonsten weiß ich noch nicht wie das zu meinem Vorgehen passt.
Es geht auch nicht drum ein Ergebnis zu bekommen (da bist du glaub dran) (ich könnte mir ja auch einfach Zahlen aus Finger saugen ersmal), sondern dieses Ergebnis zu bewerten (wie groß is denn nu der Unterschied)

Hattest du mal geschaut, ob das was ich bisher hatte denn wenigstens hinhaut?

calc007

20:45 Uhr, 30.03.2026

Ich nehme an, dass du das programmieren willst.
Folglich darf ich wohl davon ausgehen, dass du auch numerisch integrieren wirst / willst.
Da würde sich wohl anbieten:
polares Koordinatensystem einführen,
Fehler:

f =

R_ellipse - R_approxKreis

(bezüglich Ellipsen-Mittelpunkt)
Fehlerquadrat:

f^{2}

Dann ist das Integral

\int f^{2} \cdot d φ

ein gutes Maß für den Fehler,
bzw. wenn man so will

\sqrt{\frac{\int f^{2} \cdot d φ}{2 \cdot π}}

könnte man als Standardabweichung werten.

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