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Abwandlung der geometrischen Reihe

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

mariaaa-26-00 aktiv_icon

20:47 Uhr, 21.10.2021

Hallo, ich soll in einer Aufgabe aus dem Wert der Reihe die Reihe selbst bestimmen, dabei soll die geometrische Reihe durch geschicktes einsetzen hilfreich sein. Leider sitze ich jetzt schon sehr lange an der Aufgabe und komm nicht daraus durch welche Umformung die geometrische Reihe verwendet werden kann.
Der Wert in Aufgabenteil

a)

ist

\frac{x^{2}}{1 - x^{3}}

und der in

b) \frac{1 + x}{2 x^{2} - 5 x + 2}

Aufgabenteil

b

habe ich bereits mit Partialbruchzerlegung umgeformt, komme dann aber auch nicht mehr weiter.

Vielen Dank im Voraus
LG. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

21:03 Uhr, 21.10.2021

Hallo,

bei der a) ist doch

\sum_{i = 0}^{\infty} x^{3 i} = \frac{1}{1 - x^{3}}

Jetzt bekommt man noch durch Veränderung des Exponenten das

x^{2}

in den Zähler. Soweit meine Idee zu a).

Gruß
pivot

HAL9000

21:21 Uhr, 21.10.2021

Tipp zu b) Partialbrüche auf die Form

\frac{1}{1 - a x}

bringen, z.B.

\frac{1}{x - 2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2} x}

mit dann

a = \frac{1}{2}

.

Denn es ist

\frac{1}{1 - a x} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(a x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} a^{k} x^{k}

per Geometrischer Reihe.

mariaaa-26-00 aktiv_icon

09:47 Uhr, 22.10.2021

Vielen Dank, für die schnelle Antwort. Das scheint mir einleuchtend zu sein, jedoch ist mir unklar, wie ich den Exponent verändern soll, denn sobald ich dies mache, verändert sich doch auch das

x^{3}

im Nenner und das will ich ja schließlich behalten (zu

a))

mariaaa-26-00 aktiv_icon

10:09 Uhr, 22.10.2021

b)

Kann ich dann für die

(x + 1)

folgende Umrechnung machen:

(x + 1) = \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} = \frac{1}{\frac{1}{1 - (- 1) x}}

und dann unten den gleichen Trick anwenden wie davor? Finde es komisch, dass ich dann durch eine Reihe teile, geht das?

mariaaa-26-00 aktiv_icon

10:19 Uhr, 22.10.2021

Hätte nun bei der

a)

vermutet

x^{3 i + 2}

HAL9000

10:40 Uhr, 22.10.2021

Deine jetzigen Gedanken zu b) irritieren mich - die oben

> Aufgabenteil b habe ich bereits mit Partialbruchzerlegung umgeformt

klangen WESENTLICH vernünftiger. Baue also lieber auf dieser Partialbruchzerlegung

\frac{1 + x}{2 x^{2} - 5 x + 2} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{2 x - 1}

auf, zusammen mit dem Hinweis, den ich in meinem letzten Beitrag geäußert habe.

P.S.: Generell habe ich deine Anfrage so gedeutet (auch wenn es nicht klar da steht), dass es dir nicht um irgendwelche Reihen geht, sondern explizit um Potenzreihen in

x

mariaaa-26-00 aktiv_icon

17:02 Uhr, 13.11.2021

Vielen Dank :-)

mariaaa-26-00 aktiv_icon

17:02 Uhr, 13.11.2021

Vielen Dank :-)

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