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Abzählbarkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:38 Uhr, 18.11.2006  |
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Hallo alle zusammen, Ich habe ein kleines mathematisches Problem, vllt steckt auch ein philosophisches dahinter. Ich soll zeigen, dass folgende Mengen abzählbar unendlich sind: (NxN) und Q und dass R die selbe Mächtigkeit besitzt, wie Pot(N). Also bei dem ersten hab ich folgende Bijektion gefunden(falls das überhaupt eine ist): f : NxN -> N , (k,n) |-> 2^(k-1) * (2*n - 1) Ich muss hier noch zeigen dass die Abbildung surjektiv ist, ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.;P Naja bei Q gibt es ja das Cantor-Diagonalverfahren und hier hab ich jetzt Schwierigkeiten mit. Das typische C-Verfahren läuft ja darüber hinaus in die Zeile i alle Brüche mit Nenner i und in die Spalte j alle mit Zähler j zu schreiben und dann diagonal "durchzählen"...aber was ist mit den negativen rationalen Zahlen? Muss ich überhaupt noch was beweisen wenn ich doch schon gezeigt habe dass NxN abzählbar unendlich ist und Z auch dass dann Q auch abzählbar unendlich ist? Bei der letzten muss man ja zeigen das R überabzählbar ist...das macht man doch über Intervalle, oder? Hoffe man kann mir weiterhelfen... Also danke im vorraus, LG Laura |
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Ach ja nochmal so für mich zur Interesse: Ist die Vereinigung, oder der Durchschnitt zweier unendlich abzählbaren Mengen wieder abzählbar? DANKE |
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Bei NxN reicht es zu zeigen, dass es eine injektive Abbildung nach N gibt. Wenn NxN Homomorph zu einer Teilmenge einer abzählbaren Menge ist, ist es auch abzählbar. Eine Abzählung für Z ist ja leicht zu konstruieren, und da "abzählbar unendlich" eine Äquivalenzklasse ist, gilt Transitivität, d.h. es reicht für negative rationale Zahlen auf Z zu verweisen. Für die Überabzählbarkeit von R lies z.B. bei Wikipedia nach (Stichwort Cantors zweites Diagonalargument). |
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