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Abzählbarkeit Mengen
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Sonstiges
 
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1. Sei A endlich und B abzählbar unendlich. Zeige, dass die Vereinigung von A und B abzählbar unendlich ist.
add 1.) Hier hätte ich eine Lösung mit Induktion: (beispiel 2) www.uni-graz.at/people/clason/teaching/grundmath10/GB_Training_L12.pdf
nur leider ist mir die nicht ganz klar... gebe es vl. eine möglichkeit die Indukion zu umgehen?
add 2.)
A = {a1,a2,a3,...} B= {b1,b2,b3,b4,...}
Jetzt gilt es zu zeigen dass N->(AUB) gleichmächtig ist. Nun konstruiere ich solch eine bijektive Abbildung.
Idee: 1-> a1 2->b1 3->a2....
Wichtig ist auch noch, dass A und B disjunkt sind. Dies erreiche ich durch meine oben konstruierte Abbildung.
innjektivität: Sei f(n) = f(m). n und m müssen beide ungerade sein denn f(n) != f(m), weil A und B disjunkt. beide gerade: f(n) = f(m) => bn/2 = bm/2 => n/2 = m/2 => n=m beide ungerade: f(n) = f(m) => b(n+1)/2 = b(m+1)/2 => (n+1=/2 = (m+1)/2 => n=m => innjektiv surj.: Sei y e (AUB). Dann ist yeA oder yeB. Angemommen y= akeA. Dann ist y=f(2k -1) also y e f(N) Falls y=bl e B. Dann gilt y=f(2l) also y e f(N) // So ähnlich haben wirs mal gemacht nur weiß ich nicht wie man auf y e f(N) kommt... Für jedes y existiert ein Urbild unter f in N. Also ist f surjektiv. => surj. Also weiß ich das es eine bijektive Abbildung von N->(AUB) gibt. Beide sind gleich mächstig also da N abzählbar unendlich ist gilt dies auch für (AUB).
wenn mal jemand drüberschaun würde obs passt wäre cool. und vl. ein leichterer ansatz bei 1.) =)
lg
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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1. Wenn abzählbar unendlich ist, gibt es eine Bijektion . Wenn endlich ist, dann ist erst recht endlich. Es gibt also eine natürliche Zahl und eine Bijektion . (Vielleicht sollte man noch den Fall ausschließen, der aber trivial ist, da dann bereits die Behauptung zeigt). Definiere wie folgt: Falls setze falls dagegen setze . Man sieht leicht, dass eine Bijektion ist. 2. Leider steht in der Aufgabenstelung keine Voraussetzung, aus der du schließen darfst. Allerdings ist . Falls endlich ist, sind wir bei Aufgabe 1. Falls unendlich ist, so ist es auch abzählbar unendlich (warum?). Jetzt greift deine Konstruktion, denn und sind in der Tat disjunkt. |
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zu 1 ab Defeniere h wird irgendwie unklar.... Was ist das x ich kann das irgendwie nicht zuordnen wie das da rein passt....
oder vl. eine frage zum PDF:
wieso ist AUC abzählber wenn C n-1 Elemente hat?
und mit bn e A wie ist das gemeint? wenn das letzte Element von b in a liegt oder sowas?
zu 2 okay dh. ich kann nicht sagen, weil ich einen surjektive abbildung konstruiert hab darf ich sagen A und B sind disjunkt..
"Falls <nobr ismathjax="true">A\B</nobr> unendlich ist, so ist es auch abzählbar unendlich (warum?)." die Zeile ist mir nicht ganz klar. Ich verstehe leider den Zusammenhang mit dem Beispiel nicht. Das sie abzählbar unendlich sind scheint klar. Ich entferne ja von einer abzählbar unendlichen Menge eine Abzählbar unendlich Menge so ist das resiltat erst recht abzählbar unendlich
Am Schluss meintest du ja, dass es jetzt passen würde. Das AuB=(A\B)uB das gleiche ist scheint klar. Und das so (A\B) und B disjunkt sind auch. Hab ich dann im endeffekt eine Abbildung N->(A\B) ? B ???
Was ich nicht ganz verstehe, ist dass ich am Rechenweg nichts ändern muss bzw. sich so nichts ändert.... weil im Bweis für innjektiv habe ich ja verwendet, dass A und B disjunkt sind.
danke für deine Hilfe =)
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"Definiere wie folgt" Man definiert eine Abbildung beispielsweise, indem man zu jedem beliebiegn ein ausschließlich von abhängiges eindeutig bestimmtes Element von angibt (und dieses nennt). Wenn dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder es ist (mit dem zuvor angegebenen Wert von nämlich der Anzahl der Elemente von oder es ist . Im ersten Fall ist liegt also im Definitionsbereich der oben genannten Abbildung . Wir können also definieren. Hierdurch ist . Im zweiten Fall, wenn also für unser die Ungleichung gilt, ist auch eine Element von . Da der Definitionsbereich von ist, können wir also in diesem Fall definieren und auch diesmal gilt . Da weitere Fälle nicht zu betrachten sind und in beiden Fällen zu ein Element angegeben wurde, ist auf diesem Wege eine Abbildung definiert. Warum ist eine Bijektion? Man kann das zum Beispiel durch Angabe der Umkehrabbildung zeigen: Definiere wie folgt: Betrachte . Falls können wir setzen. Falls dagegen also können wir setzen. Jetzt muss noch überprüft werden, dass für alle sowie für alle gilt. Wenigstens dieser Teilschritt sei zur Übung empfohlen. "Ich entferne ja von einer abzählbar unendlichen Menge eine Abzählbar unendlich Menge so ist das resiltat erst recht abzählbar unendlich" Naja, die Differenz könnte durchaus auch endlich sein und nicht unbedingt abzählbar unendlich. Ich weiß leider nicht, welche Sätze über Kardinalitäten ihr schon kennt - wahrscheinlich wenige, wenn diese Aufgabe überhaupt noch gestellt wird. Habt ihr beispielsweise wirklich schon den Satz: ? |
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danke für die Ausführliche antwort! add1
denke werd mich hier eher für die PDF Version entscheiden. habe es geschafft diese nachzuvollziehen. sie ist auch um einiges kürzer und da höchstwahrscheinlich so ein ähnliches wenn nicht das Beispiel zur Klausur kommt kann es sicher nicht schaden sich kurz zu fassen.
add2 Nein dieser Satz sagt mir nichts. Naja es ist eine VU aus dem ersten Semester, also ist das wissen nocht nicht unbedingt groß.
Aber, wenn ich ihn anwenden würde könnte es doch so aussehen: A/B kann nicht überabzählbar sein. Denn A\B ist Teilmenge von A, hat also höchstens so viele Elemente wie A und A hat nur abzählbar unendlich viele. A\B kann also NICHT überabzählbar sein. korrekt?
danke nochmal! |
