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Abzählbarkeit begründen
Universität / Fachhochschule
Tags: abzählbar, Bijektion, Kartesisches Produkt, Rationale Zahlen
 
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Hallo Leute, wenn ich weis, dass die Menge abzählbar ist und es eine Funktion gibt so dass gilt ab Wie kann ich dannn begrüden das die positiven rationalen Zahlen abzählbar sind. Meine Ideen: Ich brauche eine Abbildung für die gilt Dabei soll das aber Da man durch 0 nicht teilen darf. Des weiteren muss gelten dass ggt(p,q) sonst hätte man doppelte Werte. ich weis dann das abzählbar ist und es eine bijektive Abbildung nach gibt. Reicht das für den Beweis der Abzählbarkeit von Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument |
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Aber das bringt mir doch nichts? Wie soll ich argumentieren? |
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Da steht doch, wie man positive rationale abzählt. Oder musst Du unbedingt über die Funktion gehen? Das ist eher ungünstig, denn die Abbildung ist nicht eindeutig. Da muss man eine Krücke bauen, das wird häßlich. |
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Es muss leider die hässliche Methode sein. Wie geht das? |
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Die einfachste Möglichkeit ist wiederum das Verfahren von Cantor. Man geht dabei die "Tabelle" mit Paaren von natürlichen Zahlen und überspringt dabei alle Paare mit ggT>1. Das ergibt eine bijektive Abbildung zwischen und der Menge aller Paare aus mit ggt>1. Ungefähr wie auf dem Bild.  |
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Aha das verstehe ich:-) Reicht das oder soll ich das irgendwie formalisieren,z.b Es soll gelten ggt(p,q)=1 Die Abbildung ist von was anzählbar ist) wieder anzählbar ist, das zeigt dein Bild. Wenn jetzt die eine Menge bilden. Dann ist diese nicht endlich, denn weil diese abzählbar unendlich ist) So dann? |
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Es gibt eine natürliche Bijektion zwischen und der Menge : . Das Bild zeigt, dass es eine Bijektion gibt. Und Du weißt schon, dass es eine Bijektion gibt. Die Komposition ist eine Bijektion, welche zu finden war. |
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Aha verstehe ich:-) Und wie kriege ich die Null noch dazu theoretisch? |
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Wozu? Und was heißt es? |
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Ich meine die positive rationalen Zahlen mit 0. |
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Natürliche Zahlen ohne Null und natürliche Zahlen mit 0 sind bijektiv zueinander mittels Abbildung bzw. je nach Richtung. |
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ich weis dass, abzählbar ist. Kann ich dann sagen ist abzählbar da es eine bijektive Abbildung gibt mit mit . Und dann die Argumentation für die Abzählbarkeit der nichtnegativen rationalen Zahlen durchführen, die du genannt hast? |
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ist natürlich eine Bijektion zwischen und . |
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Aha ok. Das geht dann:-) Könnte ich jetzt die Abzählbarkeit von ganz ableiten aus dem bisherigen? |
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Ja, sicher. Die Frage ist nur, wie. :-) |
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Ich brauch ja irgendwie die negativen Elemente. Wenn ich die Abzählbarkeit von zeigen kann, dann kann ich daraus die Abzählbarkeit von ableiten? |
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"Strecke" deine bisherige Menge so, dass zwischen zwei bisher nebeneinanderstehenden Elementen immer ein Platz leer bleibt. Auf diesen leeren Plätzen sortierst du die negativen Zahlen ein. |
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Man kann eine bijektive Abbildung angeben für gerade und für ungerade. Aber dann brauche ich die Abzählbarkeit von . Da abzählbar ist auch das kartesische Produkt abzählbar, also Das sind die rationalen Zahlen so? |
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@Gast Wie formalisiere ich das? |
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Du hast doch schon bewiesen, dass und abzählbar sind. Natürlich ist dann auch abzälhbar, denn ist eine Bijektion zwischen und . Damit kann man als eine Folge schreiben und als eine Folge . Die Folge ist dann eine direkte Abzählung von . |
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Ich verstehe das mit der Folge nicht. Also man kann sagen: . Du bildest also die 2. Komponente bijektiv ab. Was meinst du mit der Folge. |
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"Ich verstehe das mit der Folge nicht." Abzählbarkeit der Menge ist nichts Anderes als die Möglichkeit, sie als Folge darzustellen. Wenn abzählbar ist, so gibt's eine Bijektion . Also ist jedes Element aus eindeutig aus darstellbar. Und ist eine Folge. Damit ist jede abzählbare Menge eine Folge. Und jede Folge ist trivialerweise abzählbar. Diese Darstellung macht viele Beweise einfacher, daher wäre es unklug, sie zu ignorieren. ;-) |
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Aso ich verstehe:-) Aber ist das ok, wie ich es dargestellt habe. |
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? Und was soll das sein? |
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Eine abbildung die auch die negativen rationalen Zahlen erfasst. Wie kann ich das besser darstellen? |
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Wenn Du nach einer einfachen Formel suchst, wirst Du leider keine finden. Das muss man wie oben erklärt machen - und zwar in mehreren Schritten. |
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Würde das gehen wie in meinem Beitrag von ? Nochmal zu den Folgen. Warum baust du die und jeweils abwechselnd hintereinander. Müssen nicht erst alle und dann . Es kommen ja erst negative dann postive Zahlen? |
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Irgendwie verstehe ich nicht mehr, was Du willst. Wie man die Orinigalaufgabe löst, ist längst ausdiskutiert, Du drehst Dich trotzdem weiter im Kreis. "Würde das gehen wie in meinem Beitrag von 18:04?" Du hast eine bijektive Abbildung konstruiert, sie passt. Nur weiß ich nicht wozu. "Nochmal zu den Folgen. Warum baust du die ai und bi jeweils abwechselnd hintereinander. Müssen nicht erst alle bi und dann ai." Das wäre keine Abzählung. In einer Abzählung musst Du sagen können: das Element so und so steht an der Stelle so und so. An welcher Stelle würde dann stehen? "Es kommen ja erst negative dann postive Zahlen?" Warum das denn? Ordnung spielt bei diesen Aufgaben gar keine Rolle. |
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Aso jetzt verstehe ich das. Man muss ja die Zahlen durchnummerieren können mit den natürlichen Zahlen. man baut einfach zwischen die postivenBrüche die negativen ein und dann klappt das :-) |
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