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Abzählbarkeit der Algebraischen Zahlen
Universität / Fachhochschule
Tags: abzählbare menge, Abzählbarkeit, polynom
 
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Guten Tag, ich bin in Arens Mathematik auf folgende Aufgabe gestoßen und kann mir die vorgeschlagene Lösung nicht erklären und halte sie für nicht ganz korrekt: "Jene reellen Zahlen x, die Lösung einer Polynomgleichung mit Koeffizienten sind nennt man algebraische Zahlen. Dabei muss mind. ein sein." Man soll die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen aus der Tatsache herleiten, dass jedes Polynom vom Grade nur endlich viele Nullstellen hat (nämlich genau n). Zuerst werden die ganzen Zahlen durchnummeriert: usw. Dann werden "ALLE" Polynome vom Grade betrachtet wobei für die Koeffizienten nur die Zahlen mit zugelassen sind. Ein Polynom ist das "Nullpolynom" (alle Koeffizienten null) und muss ausgeschlossen werden. Für den ersten Koeffizienten gibt es dann Möglichkeiten und für alle weiteren auch. Insgesamt hat man Koeffizienten ( bis ). Also insgesamt Polynome von denen jedes nur max. Nullstellen hat. Geht man jetzt den Grad des Polynoms mit den natürlichen Zahlen ab, so sind alle Nullstellen abzählbar. Also sind die algebraischen Zahlen abzählbar. Der entscheidende Fehler wird meiner Meinung gemacht, weil für die Koeffizienten nur die Zahlen mit zugelassen sind. Das würde heißen beim Grade , dass für jeden Koeffizienten nur zugelassen sind. Also insgesamt verschiedene Polynome. Aber das sind doch bei weitem nicht alle Polynome mit ! Kann mir eventuell jemand einen Weg aufzeigen, wie man zu einer korrekten Herleitung der Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen anhand der Endlichkeit der Nullstellen kommt? Vielen Dank für die Unterstützung! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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> Dann werden "ALLE" Polynome vom Grade betrachtet wobei für die Koeffizienten nur die Zahlen mit zugelassen sind. Eine kleine Formulierungsergänzung, und schon ist alles in Ordnung: Es geht hierbei um Polynome nicht nur vom Grad , sondern vom Grad !!! Damit erledigt sich dein an sich berechtigter Einwand > Aber das sind doch bei weitem nicht alle Polynome mit ! denn diese anderen kubischen Polynome kommen dann bei höheren mit an die Reihe. Beispielsweise ist dann in Runde erstmals mit von der Partie. Auf diese Weise hat man in Runde auch alle Polynome aus den vorherigen Runden mit dabei, aber es kommen nach und nach auch die "fehlenden" Polynome niedrigeren Grades mit hinzu. |
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Großartig, Dankeschön! Mit wachsendem werden die "alten" ja immer nochmal mitgezählt (was ja nicht schlimm ist). Es geht ja nicht um die Anzahl, sondern nur um die Abzählbarkeit an sich! |
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Genau! Und wenn man unbedingt in Runde nur die "neuen" Polynome haben will, dann kann man die alten ja auch rausschmeißen, man hat dann per Differenzbildung genau solche neuen Polynome in dieser Runde. |
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weil das dem in der vorherigen Runde und das hoch dem in der vorherigen Runde entspricht. Und die will ich ja nicht mehr dabei haben. Top. Danke! |
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Die "neuen" Polynome sind dadurch ausgezeichnet, dass sie entweder echte Polynome vom Grad sind (d.h. ), oder aber mindestens einen Koeffizienten enthalten mit Wert . |
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