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Abzählbarkeit von algebraischen Zahlen
Universität / Fachhochschule
Komplexe Zahlen
Tags: Komplexe Zahlen
 
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Hi, ich soll folgende Aussage zeigen: Die Menge A der algebraischen Zahlen ist abzählbar. Nutze ohne Beweis, dass ein Polynom n-ten Grades höchstens Nullstellen hat. A:=x∈R:Es gibt n∈N sowie a0,a1,...,an ∈Q,an≠0 mit ∑a_kx^k . Ich habe zwar Ideen, wie ich die Aufgabe lösen soll, bin mir jedoch nicht sicher, ob diese so in Ordnung sind: Aus der Aussage, dass es a0,…,an gibt, folgt dass die Menge dieser Koeffizienten endlich (also abzählbar) ist. Wenn dies der Fall ist, folgt ja sofort, dass die angegebene Reihe endlich ist? Nun ist ja eigentlich zu zeigen, dass alle Polynome zusammen abzählbare Nullstellen haben. Dazu müssen wir zeigen, dass eine Menge die alle Polynome enthält, abzählbar ist. Also müsste man eine surjektive Abbildung finden. Da nun jedes Polynom nur endlich viele NS haben kann, ist die Menge aller NS endlich? Ich weiß, dass alles sehr vage ist, würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, man könnte es wie folgt machen: * Zuerst überlegt man sich, dass es für jede algebraische Zahl ein Polynom mit ganzen Koeffizienten(!) gibt, dessen Nullstelle ist. * Dann definiert man . Klar, dass für die Menge der algebraischen Zahlen gilt, wobei die Nullstellenmenge von sei. * Man müsste also zeigen, dass abzählbar und deshalb auch das ist. Dann wäre als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen selbst wieder abzählbar. Mfg Michael |
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