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Achsenabschnitte/Hauptachse bei Ellipsen

Universität / Fachhochschule

Tags: Achsenabschnitt, Ellipse, Hauptachsen, Quadrik

gingi0815 aktiv_icon

17:27 Uhr, 05.02.2019

Hallo :-)

Gegeben ist die Quadrik 14x^2-4xy+11y^2-28x+4y+13=0. Durch Hauptachsentransformation erhält man

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix})

Eingesetzt in

Q

erhält man

E' = 10 x'^{2} + 15 y'^{2} - 4 \sqrt{5} x' + 12 \sqrt{5} y' + 13 = 0

Durch quadratische Ergänzung mit

x'' = x' - \frac{1}{\sqrt{5}}

und

y'' = y' + \frac{2}{\sqrt{5}}

erhält man

E'' = 10 x''^{2} + 15 y''^{2} = 1

Hier nun meine Fragen
- Wie lese ich die Achsenabschnitte der Ellipse ab? Ich kenne es nur in der Form

(\frac{{(x'')}^{2}}{a^{2}})

? Die Lösungen sind

\frac{2}{\sqrt{10}}

und

\frac{2}{\sqrt{15}},

aber ich komme selbst nicht drauf.
- Der Ansatz um die Hauptachsen zu bestimmen ist zu sagen, dass nach der Transformation die

x

und y-Achsen, also

y'' = 0

und

x'' = 0

und somit auch

x' - \frac{1}{\sqrt{5}} = 0

und

y' + \frac{2}{\sqrt{5}} = 0

die Hauptachsen sind.Aber wie komme ich von hier auf die form

x + 2 y = 1

und

- 2 x + y = - 2

??

Vielen Vielen dank schon jetzt für die Hilfe! ❤

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

18:38 Uhr, 05.02.2019

>

Die Lösungen sind

210

und

215,

aber ich komme selbst nicht drauf.

Du hast doch

10 x^{2} + 15 y^{2} = 1

und das kannst du auch als

\frac{x^{2}}{\frac{1}{10}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{15}} = 1

schreiben. Und jetzt siehst du doch bereits

a^{2} = \frac{1}{10}

und

b^{2} = \frac{1}{15}

.

Also

a = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}

und

b = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}

gingi0815 aktiv_icon

19:02 Uhr, 05.02.2019

Oh gott ja natürlich, danke

Weißt du auch wie ich aus den

x' y'

Hauptachsen die

x

und

y

Hauptachsen bekomme?

ledum aktiv_icon

23:02 Uhr, 05.02.2019

Hallo
deine Tranformationsmatrix dreht ja (um ca 63°) wenn du die Achsen also um -63° drehst hast du die ursprüngliche Ellipse.
Gruß ledum

maxsymca

13:22 Uhr, 06.02.2019

Ich bin gerade dabei das Thema zu beleuchten und wenn ich Deine Daten an meine App verfüttere erhalte ich teilweise was anderes - aber das Gesamtbild stimmt...

Roman-22

13:52 Uhr, 06.02.2019

Deine Achsentrafo dreht die Ellipse um den Ursprung so, dass ihre Achsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

(x, y) \to (x', y')

Das was du dann "quadratische Ergänzung" nennst ist eine simple Translation, welche die Ellipse so verschiebt, dass ihr Mittelpunkt im Ursprung liegt. Die Achsen der Ellipse sind dann natürlich die Koordinatenachsen.

(x', y') \to (x'', y'')

Um die Gleichungen der Achsen der ursprüngliche Ellipse zu erhalten, musst du nur auf die Achsen

y'' = 0

und

x'' = 0

diese Operationen in umgekehrter Reihenfolge anwenden. Also die Schiebung rückgängig machen und dann die Drehung (=Multipikation mit inverser Matrix).