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Achteck und überlappendes Quadrat
Universität / Fachhochschule
Tags: Achteck, Didaktik, Lösungsansatz, Quadrat
 
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Hallo zusammen, ich muss leider sagen, dass ich mit folgender Aufgabe hoffnungslos überfordert bin und mir nichtmal ein Lösungsansatz einfällt, was ich mir vorstellen kann, bei solch einer Geometrie Aufgabe eher peinlich ist.... Beo Aufgabe 1 soll ich ja den gefärbten Anteil des Achtecks angeben, jedoch kann ich mir a) nicht vorstellen, wie sich das handelnd anschaulich lösen lassen soll. Mir würde da spontan das Ausschneiden und ausprobieren ein , aber generell komme ich nicht auf die Lösung, geschweige denn die Lösung dann an Klasse 7 und 9 anzupassen. Ich weiß, dass ein Achteck 8 gleichlange Seiten und 135 Grad große Innen-Winkel besitzt, aber das gegebene Dreieck dürfte ja nicht 2 Winkel mit 67,5 Grad haben und einen mit 45 Grad..... Ich weiß hier leider nicht weiter. Bei Aufgabe 2 dürfte sich meiner Meinung nach die Größe der gemeinsamen / überlappten Fläche nicht ändern, aber das weiß ich leider auch nicht. Ebenfalls verwirrt mich die Fragestellung b. zu c) enaktiv könnte man die überlappenden Quadrate nachbauen ( ausschneiden) und mit einer Stecknadel befestigen und dann ( sollte meine Idee richtig sein) das Quadrat drehen und die Flächeninhalte der entstehenden Überlappungen berechnen ( bei Kästchenpapier abzählen). Wie das ganze ikonisch klappen soll, weiß ich nicht. Leider muss ich diese Vorlesung und Übung aufgrund diverser Überschneidungen in Alleinarbeit bearbeiten / dieses 1. Blatt haben wir ohne eine vorherige Vorlesung bekommen und muss in Eigenarbeit recherchiert und bearbeitet werden. Ich bin dankbar für jede Hilfe.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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. ein Vorschlag zum 8-Eck, der dich vielleicht auf Ideen bringt: verbinde noch die beiden 8-Eck-Eckpunkte, auf der die Spitze des schwarzen Dreiecks liegt, mit den beiden Eckpunkten der Basis des Dreiecks du bekommst ein Rechteck könnte es vielleicht sein, dass das schwarze Dreieck die Fläche dieses Rechtecks halbiert? und: gibt es in diesem Rechteck zwei andere Dreiecke, die zusammen dessen Fläche auch halbieren und die direkt etwas mit der Fläche des Achtecks zu tun haben ? also dann: welcher Teil der 8-Eck-Fläche ist schwarz angemalt? . ? . |
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Danke für deine Antwort. Das Rechteck habe ich auch bereits gezeichnet bekommen und das das schwarze Dreieck das Rechteck halbiert sehe ich auch direkt, danke :-) Jedoch sehe ich nicht den bezug von den anderen kleinen rechtecken zum Achteck. ( Ignoriere das Quadrat das ich gezeichnet habe ) oder vielleicht hat das Quadrat ja einen nutzen. |
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Das Bild |
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Entschuldige aber ich kann es leider nicht hochladen |
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" ( Ignoriere das Quadrat das ich gezeichnet habe ) " was meinst du mit Quadrat ?? (sehe keins) . PS: jetzt ist da was - aber wohl nicht hilfreich "Jedoch sehe ich nicht den bezug von den anderen kleinen rechtecken zum Achteck." eine Mittellinie des Rechtecks (=Dreieckshöhe) geht durch den Umkreismittelpunkt des 8-Ecks (warum?) verbinde mit den Eckpunkten des Rechtecks und: welche beiden der so entstehenden gleichschenkligen Dreiecke nicht Rechtecke!) haben haben wohl jetzt sichtbar etwas mit der 8-Ecks-Fläche zu tun? .. :-) usw.. nebenbei: willst du heute nicht mehr antworten ? . |
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Die Mittellinie geht durch den Mittelpunkt des Umkreises, weil es ja die Seitensymmetrale des Achtecks ist und die Seitensymmetralen schneiden sich ja in M. Das Bild was ich gezeichnet habe kommt sofort. |
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Hier das Bild |
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. ok aber ohne Text warum halbiert das schwarze Dreieck die Rechteckfläche? zwei der nun eingezeichneten kleinen Dreiecke haben als Basis die 8-Eckseite kannst du irgendwie erkennen, was diese beiden Dreiecke mit der 8-Eckfläche zu tun haben und warum sind die beiden flächenmässig zusammen gleich gross wie das schwarze Dreieck wie ist also die Antwort auf die in der Aufgabe gestellte Frage ? . |
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Das schwarze Dreieck halbiert das Rechteck, da die Spitze des schwarzen Dreiecks in M der Seite des Achtecks liegt. Da die anderen beiden entstandenen Dreiecke jeweils rechts und links des Mittelpunkts liegen und die gleiche Höhe des schwarzen rechtecks haben, muss der Flächeninhalt des Schwarzen Dreiecks gleich dem der beiden kleinen sein. Das schwarze Dreieck müsste 1/4 des Achtecks färben, wie ich das aus den neu entstandenen Dreiecken folgere weiß ich aber nicht. Ich weiß, dass das Dreieck Die Hälfte des Rechtecks färbt. trenne ich das rechteck aus dem Achteck heraus, dann kann ich das übrig gebliebene ja in 4 Dreiecke und 2 Rechtecke teilen, welche zusammengesetzt ja so groß sind wie das rausgetrennte Rechteck. Wie du aber mit deiner Methode auf die 1/4 kommst würde ich natürlich sehr gerne verstehen |
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. "zwei der nun eingezeichneten kleinen Dreiecke haben als Basis die 8-Eckseite" - jedes hat der 8-Eckfläche (hoffentlich klar warum?) - und beide zusammen halbieren auch die Rechteckfläche (wie das schwarze Dreieck) schau dir das halt mal genau an warum..(zeichne dir dazu vielleicht noch die Mittellinie des Rechtecks die Höhe des schwarzen Dreiecks) ein. also... . |
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Hey, leider blicke ich glaube ich durch die Zeichnung selber nicht mehr durch... Entschuldigung das ich mich gerade bestimmt dämlich anstelle aber ich verstehe nicht mehr von welchen Dreiecken die rede ist... Vielleicht hast du noch die Motivation und Lust mir zu markieren von welchen Dreiecken du jeweils redest---- Entschuldigung und danke dir nochmals  |
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Nebenbei meine ersten Gedanken... |
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Aufgabe 1 ist könnte man so lösen: Wenn man einfach die Höhe dieses gleichschenkligen schwarzen Dreiecks über der Basis halbiert, dann entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Spitze im Mittelpunkt des Achtecks. Dieses solchermaßen flächenmäßig halbierte Dreieck nimmt nun aus Symmetriegründen genau ein Achtel der Achteckfläche ein (sozusagen eines von 8 "eckigen" kongruenten Tortenstücken, die gemeinsam die Achteckfläche ausfüllen). Damit ist die Antwort klar: Das schwarze Dreieck nimmt genau der Achteckfläche ein. Ob diese Lösung nun auf Niveau Klasse 6/7/9 ist, vermag ich nicht zu beurteilen. Man muss zu ihrem Verständnis zumindest wissen, dass die Dreiecksfläche sich bei Halbierung der Höhe ebenfalls halbiert.  |
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Ja, ist die Fläche vom Achteck und das Vierfache vom dunklen Dreieck dadrinnen, das passt auch zur Formel für dessen Fläche auf meiner Skizze. |
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. "von welchen Dreiecken du jeweils redest.." zunächst : deine Zeichnung ist nicht gerade sehr hilfreich (nichtmal die 8-Eck-Seiten sind da alle gleich lang und gegenüberliegende Seiten sollten parallel sein..) Vorschlag zeichne dir NUR mal das RECHTECK (mit 8-Eck-Seite und 8-Eck-Diagonale als Seiten); zeichne in diesem das grosse "schwarze" Dreieck ein und die beiden Rechteck-Diagonalen, diese erzeugen oben und unten zwei kleine gleichschenklige Dreiecke ("Eieruhr".. :-) dieser kleinen Dreiecke erzeugen dann das 8-Eck - warum?) wenn du jetzt noch die zur längeren Rechteckseite parallele Mittelparallele einzeichnest sollte es dir gelingen, zu sehen, dass - die Fläche des schwarzen Dreiecks halb so gross ist wie die Rechteckfläche - die Fläche der "Eieruhr" ebenfalls halb so gross ist wie die Rechteckfläche F_(schwarzes Dreieck) . . . :-) hoffentlich kannst du nun in ausgeschlafenem Zustand sagen : "blicke ich, glaube ich" . |
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Erstmal einen großen Dank an Alle. @Rundblick: Nach genügend Schlaf, habe ich die Aufgabe nun auch durchblicken. Ich stand gestern und heute Nacht auf dem Schlauch. Ich konnte die Lösungsmethoden auch nach den jeweiligen Klassen sortieren. Bei Aufgabe 2 bräuchte ich jedoch noch Hilfe. Das die gemeinsame Fläche stets 1/4 bleibt kann man durch ausprobieren herausfinden. Jedoch weiß ich nicht wie ich hier einen Beweis finden kann. Wie man das durch die beiden Methoden herausfinden soll. Enaktiv könnte ich auch hier einfach 2 beliebig große Gleiche Quadrate rausschneiden und es durch ausprobieren "beweisen" |
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Platziere doch rund um ergänzend zu dem einen blauen Quadrat noch drei weitere dazu kongruente Quadrate, so dass diese vier Quadrate im Verbund das graue Originalquadrat vollständig überdecken. Die Figuren, die diese vier Überdeckungsquadrate jeweils aus dem Originalquadrat herausschneiden, sind einander kongruent (wegen Drehungsinvarianz um 90° mit Mittelpunkt !!!), und bilden in ihrer Vereinigung das Originalquadrat selbst. Ergo hat jedes einzelne ein Viertel der Fläche des Originalquadrats. P.S.: Die Größe des blauen Quadrats ist weitgehend egal, solange dessen Seitenlänge mindestens das -fache der Seitenlänge des Originalquadrats hat. |
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Sekorita, ein Teim meiner Skizze bezieht sich auch auf Aufgabe 2. |
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Hallo, danke für all die Hilfe. Ich konnte alle Aufgaben lösen und hoffe, dass die Lösungen dem entsprechen, was der Dozent verlangt hat. |
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