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Addition auf elliptischen Kurven

Universität / Fachhochschule

Tags: Addition, elliptisch, Kurve

Sukomaki aktiv_icon

17:14 Uhr, 13.10.2021

Hallo Community,

kennt sich jemand aus mit elliptischen Kurven?

Die Addition ist ja definiert als Spiegelung des dritten Schnittpunktes der Geraden, die durch zwei Punkte, die auf der elliptischen Kurve liegen, geht.

Dazu habe ich zwei Fragen :

1) Warum ist

P + Q

gleich der Spiegelung von

R

und nicht

R

?

2) Wofür brauche ich die Addition?

Gruß
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:38 Uhr, 13.10.2021

Hallo

Eine gute Erklärung findest du in : 3d-xplormath.org/Downloads/Collected_Atos.pdf
da in "planar curves " und dann in "Geometric Addition on Cubic Curves"
oder den Umweg über
http://virtualmathmuseum.org/index.html
unter Collected ATOs
kurz zu warum: aus demselben Grund wie du bei sin Additionstheoreme für

sin (a + b)

willst.
Gruß ledum

Sukomaki aktiv_icon

17:04 Uhr, 14.10.2021

Ich untersuche beispielhaft die elliptische Kurve

E : y^{2} = x^{3} - x + 1

.

Oder explizit

y = \pm \sqrt{x^{3} - x + 1}

Es seien zwei Punkte auf der Kurve gegeben :

(x_{1}, y_{1}) = (- 1.2, 0.68702)

(x_{2}, y_{2}) = (- 0.15, 1.07081)

Dann ist die Gerade

m x + d

, die durch die beiden Punkte geht, gegeben durch

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = 0.3655

d = \frac{y_{1} x_{2} - x_{1} y_{2}}{x_{2} - x_{1}} = 1.12563

Um den dritten Schnittpunkt zu bestimmen setze ich

\sqrt{x^{3} - x + 1} = m x + d

Auflösen nach

x

liefert

x \in {- 1.2, - 0.15, 1.4836}

Gesucht ist jetzt der Schnittpunkt

x \notin {- 1.2, - 0.15}

Also ist

(x_{3}, y_{3}) = (1.4836, 1.6679)

Gespiegelt an der X-Achse ist das :

(x_{3}, y_{3}) = (1.4836, - 1.6679)

Und jetzt meine Frage :

Sollte

x_{3}

laut Artikel nicht

- x_{1} - x_{2}

sein, oder verstehe ich da etwas falsch?

Okay, ich habe gerade auf Wikipedia gelesen, dass mit

s := \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}}

die Addition gegeben ist durch :

x_{3} = s^{2} - x_{1} - x_{2}

y_{3} = - y_{1} + s (x_{1} - x_{3})

Das ist natürlich eleganter als das Lösen der Gleichung dritten Grades.

Aber ich habe noch nicht so ganz verstanden, warum ich

(x_{3}, y_{3})

auf diese Weise berechnen kann.

Kann mir das bitte jemand erklären?

Sukomaki aktiv_icon

20:54 Uhr, 15.10.2021

Ich weiß jetzt, dass die Addition auf elliptischen Kurven in der Kryptographie zum Einsatz kommt. Aber das ist nicht eigentlich meine Frage.

Das Additionstheorem besagt ja, dass die Summe von drei Punkten, die auf einer Geraden liegen, gleich Null ist. Kann jemand mal über meine Rechnung gehen und mir sagen, wo mein Denkfehler ist?

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