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Addition von Äquivalenzklassen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Äquivalenzklassen, Relation., Wohldefiniert

maxbo aktiv_icon

20:46 Uhr, 01.11.2015

Guten Abend,
ich hätte da mal wieder eine Frage. Und zwar geht es um diese Aufgabe:

Es sei

y \in ℤ

. Folgende Äquivalenzklassen sollen betrachtet werden:

[y] := {x \in ℤ | x - y = k \cdot m, k \in ℤ}

Es soll gezeigt werden, dass

[y] + [z] := [y + z]

wohldefiniert ist.

Die dazugehörige Relation lautet:
Sei

m \in ℕ, m > 1

R

ist eine Relation auf

ℤ

mit:

x R_{m} y : \Leftrightarrow \exists k \in ℤ : x - y = k \cdot m

Ich habe bereits gezeigt, dass es sich bei der Relation um eine Äquivalenzrelation handelt. Aber beim Beweis der Wohldefiniertheit der oben genannten Addition tue ich mir schwer. Da muss man doch die Existenz und EIndeutigkeit zeigen, oder?

Zur Existenz habe ich gesagt, dass wenn man sich

[y + z]

anschaut, ist

y + z \in ℤ

und somit existiert auch

[y + z]

.

Jedoch bei der Eindeutigkeit weiß ich nicht wie ich das anstellen soll. Ich hab mir schon überlegt

y_{1}, y_{2}, z_{1}, z_{2} \in ℤ

mit

y_{1} = y_{2}

und

z_{1} = z_{2}

zu wählen und dann

[y_{1}] + [z_{1}] = [y_{2}] + [z_{2}] = [y_{1} + z_{1}] = [y_{2} + z_{2}]

zu folgern. Aber das bekomme ich nicht hin.

Ich würde mich auf eine schnelle Hilfe freuen! :-)

Lg
Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:31 Uhr, 02.11.2015

Du musst zeigen:

[y_{1}] = [y_{2}]

und

[z_{1}] = [z_{2}]

[y_{1} + z_{1}] = [y_{2} + z_{2}]

.
Das geht so:

[y_{1}] = [y_{2}]

\exists k_{1}

mit

y_{1} - y_{2} = k_{1} m

[z_{1}] = [z_{2}]

\exists k_{2}

mit

z_{1} - z_{2} = k_{2} m

.
Dann

(y_{1} + z_{1}) - (y_{2} + z_{2}) = (y_{1} - y_{2}) + (z_{1} - z_{2}) = (k_{1} + k_{2}) m

[y_{1} + z_{1}] = [y_{2} + z_{2}]

maxbo aktiv_icon

11:06 Uhr, 02.11.2015

Okay, aber ich versteh noch nicht ganz wie man auf diese Schlussfolgerung kommt:

[y_{1}] = [y_{2}] \Rightarrow \exists k_{1}

mit

y_{1} - y_{2} = k_{1} \cdot m

Wenn ich das versuche umzuformen, kommt da was anderes raus

: (

DrBoogie aktiv_icon

11:10 Uhr, 02.11.2015

Das ist doch Definition. :-O

[y_{1}] = [y_{2}]

y_{1} \sim y_{2}

y_{1} - y_{2} = k \cdot m

. Ich hab halt

k_{1}

statt

k

genommen, weil ich das zweimal mache, brauche also zwei verschiedene

k

's.

maxbo aktiv_icon

11:19 Uhr, 02.11.2015

Ja, stimmt :-D) Mir ist gerade aufgefallen, dass ich humbuck gemacht habe :-D)

Noch eine kurze Notationsfrage:
Bei dem zweiten Schritt: Bedeutet

(y_{1} + z_{1}) - (y_{2} + z_{2}) = [y_{1} + z_{1}] - [y_{2} + z_{2}]

? Weil die runden Klammern mich etwas verwirren :-)

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11:20 Uhr, 02.11.2015

Nein, runde Klammern sind ganz gewöhnliche Klammern.

maxbo aktiv_icon

11:26 Uhr, 02.11.2015

Aber ich betrachte doch hier die Äquivalenzklassen?!

Ich versteh nicht so ganz was dann diese runden Klammern bedeuten sollen.

maxbo aktiv_icon

11:29 Uhr, 02.11.2015

Ah, jetzt hab ich's geblickt :-D)

So, dann hat sich's geklärt. Vielen Dank! :-)

DrBoogie aktiv_icon

11:33 Uhr, 02.11.2015

Sie sollen bedeuten, dass

5 - (3 - 2)

nicht dasselbe ist wie

5 - 3 - 2

.

"Aber ich betrachte doch hier die Äquivalenzklassen?!"

Wenn ich

[y_{1}]

habe, dann ist es noch eine Äquivalenzklasse.
Wenn ich aber schreibe:

\exists k_{1}

, so dass

y_{1} - y_{2} = k_{1} \cdot m

gilt,
dann ist

y_{1} - y_{2}

schon eine Zahl und keine Klasse. Sonst wäre es sinnlos, denn

k_{1} \cdot m

ist gewiss keine Äquivalenzklasse.
Ohne den Klammern

[]

sind es alles gewöhnliche Zahlen. Und wenn ich von der Zahl

y_{1} + y_{2}

die Zahl

z_{1} + z_{2}

abziehen will, dann muss ich halt normale Klammern

()

nutzen, sonst stimmt das Ergebnis nicht.

Bitte denke etwas nach, bevor Du fragst, denn das sind Fragen, auf welche Du selber Antwort findest kannst, wenn Du Dir 10 Minuten Zeit lässt.

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