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Addition von Untervektorräumen - wie?

Universität / Fachhochschule

Tags: span, Untervektorräume, Vektorraum

gotnoidea aktiv_icon

23:08 Uhr, 29.11.2014

Hey,

angenommen ich habe zwei Vektoren

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

wobei

v_{1}, v_{2} \in ℝ^{3}

und einen Untervektorraum

V = {(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) \in ℝ^{3} : a - b + c = 0}

Ich soll nun entscheiden, ob

v_{1}

im Untervektorraum span(

v_{2}) + V

liegt.

Ich wüsste gern, welche Form der Untervekktorraum span(

v_{2}) + V h a t

.

span

v_{2} = {λ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) : λ \in ℝ}

ist mir klar.. wie sieht die Summe der Untervektorräume implizit aus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

00:03 Uhr, 30.11.2014

Wenn Du irgendeine Basis

w_{1}, w_{2}

von

V

findest (

V

ist zweidimensional, daher zwei Basisvektoren), dann ist

s p a n (v) + V = s p a n (v_{2}, w_{1}, w_{2})

gotnoidea aktiv_icon

13:31 Uhr, 30.11.2014

Ich verstehe noch nicht ganz, wieso

V

zweidimensional sein soll..V ist doch Vektorraum im

ℝ^{3}

und ich würde doch die linear unabhängigen Vektoren

w_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), w_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

w_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

im Vektorraum

V

finden, womit die Dimension ja drei wäre..

Dann wäre span

(v_{2}) + V

=span

(v_{2}, w_{1}, w_{2}, w_{3})

? Wie kann ich beurteilen, ob

v_{1}

im Untervektorraum
span

(v_{2}) + V

liegt?

Wie sieht span

(v_{2}) + V

dann in Mengenschreibweise aus? span

(v_{2}) + V

=span

(v_{2}, w_{1}, w_{2}, w_{3}) = {a (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + d (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) : a, b, c, d \in ℝ}

so?

Danke und LG

DrBoogie aktiv_icon

14:51 Uhr, 30.11.2014

Deine

w_{1}, w_{2}, w_{3}

sind linear abhängig, weil

w_{1} - w_{2} - w_{3} = 0

DrBoogie aktiv_icon

15:21 Uhr, 30.11.2014

"Ich verstehe noch nicht ganz, wieso V zweidimensional sein soll."

Weil es der Lösungsraum einer linearen Gleichung mit

3

Variablen ist.

gotnoidea aktiv_icon

16:12 Uhr, 30.11.2014

Ok, also wenn ich ein LGS mit 3 Variablen habe, kann ich eine der Variablen ja als Summe von Vielfachen der anderen Darstellen:

a - b + c = 0 \Rightarrow a + c = b

Daraus folgt also

V = {(\begin{matrix} a \\ a + c \\ c \end{matrix}) : a, c \in ℝ}

Wie finde ich jetzt zwei Basisvektoren

w_{1}, w_{2}

? Die sind ja zweidimensional..

DrBoogie aktiv_icon

16:21 Uhr, 30.11.2014

"Die sind ja zweidimensional.. "

Nein, Vektoren sind nicht zweidimensional. Zweidimensional ist

V

.
Und als Summe der Vielfachen stellt man Vektoren da und nicht die Variablen.
Bei Dir ist das leider etwas durcheinander.

"2Wie finde ich jetzt zwei Basisvektoren

w 1, w 2

?"

Du hast die doch schon. Von Deinen

w_{1}, w_{2}, w_{3}

kannst Du zwei beliebige nehmen, es wird eine Basis von

V

gotnoidea aktiv_icon

18:55 Uhr, 03.12.2014

ok, verstehe.. also V=span(w_1,w_2).. Mir erschließt sich nur noch nicht so richtig, wie ich richtig begründen kann, dass

V

zweidimensional ist? Die Darstellung

V = {(\begin{matrix} a \\ a + c \\ c \end{matrix})) \in ℝ^{3} | a + c \neq 0}

impliziert ja, dass

V

zweidimensional ist, aber wie begründe ich es richtig?

DrBoogie aktiv_icon

20:06 Uhr, 03.12.2014

Wenn

a + c \neq 0

ist, dann ist es gar kein Unterraum, weil in jedem Unterraum der Nullvektor liegen muss.

Sonst begründen man entweder durch Angabe einer Basis oder durch allgemeines Resultat wie dieses hier:

\dim (K e r n) + \dim (B i l d) = \dim (V)

- das ist aber nur anwendbar für Lösungsräume von linearen Gleichungen oder Systemen.

gonnabeph aktiv_icon

20:11 Uhr, 03.12.2014

Warum nicht direkt mit der Dimensionsformel für Untervektorräume?

d i m (U_{1} + U_{2}) = d i m (U_{1}) + d i m (U_{2}) - d i m (U_{1} \cap U_{2})

Gruß!

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