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Additionstafel 4 Elemente, 1+a=b?

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Sonstiges

Tags: Additionstafel, Sonstiges

tommy40629 aktiv_icon

13:56 Uhr, 12.11.2013

Ich habe jetzt einen Körper mit den Elementen

{0,1, a, b}

So sieht die Tafel bisher aus:

+ | 0 | 1 | a | b

- - - - - - - - - -

0 | 0 | 1 | a | b

1 | 1

a | a

b | b

Ich will jetzt zeigen, dass

1 + a = b

ist.

1 + a = b | | b = 0 + b

1 + a = 0 + b | | + (- b)

1 + a + (- b) = 0 | | (- 1) +

a + (- b) = - 1 | | + b

a = - 1 + b

1 + (- 1 + b) = b

Irgendwie habe ich dabei Bauchschmerzen.

Oder man sagt einfach,

1 + a = b

passen würde es auf alle Fälle.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

14:01 Uhr, 12.11.2013

Hallo,

schau in Deinen Thread zu der Additionstafel des 3-elementigen Körpers. Natürlich kannst Du sagen, dass

1 + a = b

ist und daraus dann eine ganze Tafel zaubern, aber ist das die einzige Möglichkeit???

tommy40629 aktiv_icon

14:06 Uhr, 12.11.2013

Also ich habe gesehen, dass man bei den Additionstafeln, ab der 2. Zeile "Alles um eins nach links rückt":
1. Zeile:

0,1, a, b

2. Zeile:

1, a, b,0

3. Zeile:

a, b,0,1

4. Zeile:

b,0,1, a

Das würde auch bei

0,1, a, b, c, d, e, f, g

so funktionieren.

Man muss das doch auch beweisen oder?

Bummerang

14:10 Uhr, 12.11.2013

Hallo,

"Also ich habe gesehen, dass man bei den Additionstafeln, ab der 2. Zeile 'Alles um eins nach links rückt'"

Dazu besteht keine Notwendigkeit! Das ist eine Möglichkeit der Festlegung, aber keine notwendige! Das kann man sich leicht vor Augen führen: Die 0 und die 1 sind gesetzt. Dann füllt man die Tabelle nach Deinem Muster mit dem um 1 nach rechts. Doch dann komme ich und sage, die Elemente heißen nicht a und

b,

sondern

x

und

y

und ich nehme Dein

b

und nenne es jetzt

x

und Dein a und nenne es jetzt

y

und dann sortiere ich die Tabellenspalten um und zuletzt die Zeilen, so dass

x

immer vor

y

steht und schon steht in dieser zweiten Zeile nicht mehr die erste Zeile und nur "alles eins nach rechts"...

tommy40629 aktiv_icon

14:11 Uhr, 12.11.2013

Ich habe jetzt gezeigt, dass wenn

b = - 1

ist, dann gilt

1 + b = 0

1 + b = b + (- b)

1 + b = 0 + b + 0 + (- b) | | + b

1 + b + b = 0 + b | | (- 1) +

b + b = - 1 + b | | + (- b)

b = - 1

Bummerang

14:16 Uhr, 12.11.2013

Hallo,

wenn

b = - 1

(also das additive Inverse von

1)

ist, dann gilt natürlich

1 + b = 0,

ohne Beweis, denn das ist die Definition für das additive Inverse!

tommy40629 aktiv_icon

14:20 Uhr, 12.11.2013

Ich kenne das Axiom.

Aber kann man echt einfach sagen:

"Wann ist

1 + b = 0

? Aha nach Axiom gilt

1 + (- 1) = 0

also ist b=-1."

Dann könnte man aber doch auch sagen

1 = (- b)

denn

(- b) + b = 0

Bummerang

14:30 Uhr, 12.11.2013

Hallo,

wenn

1 + b = 0

ist, dann ist in der Zeile der 1 genau eine

0,

nämlich unter dem

b

. Dann fordert der Körper, dass es ein Inverses zu 1 gibt und das ist

b,

folglich ist

b = - 1

. Wenn Du umgekehrt sagst, dass

b = - 1

ist, dann musst Du in der Tabelle in der Zeile von

1

in der Spalte

b

eine Null schreiben. Natürlich kannst Du sagen, dass

1 = (- b)

ist, dann musst Du in der Zeile von

b

in der Spalte für die 1 eine Null schreiben. Wegen der Kommutativität musst Du gleichzeitig in die Zeile der 1 unter das

b

eine Null schreiben und was stellst Du fest?

b = (- 1)!

Bummerang

14:51 Uhr, 12.11.2013

Hallo,

also noch einmal zu dem Körper mit 4 Elementen:

1. Zeile und 1. Spalte ist klar! Dann kommt

1 + 1 -

das kann a sein, so wie bei Dir. Dann folgt unweigerlich

1 + a = b,

da das

b

nicht in der letzten Spalte stehen kann, und letztendlich

1 + b = 0

. Damit ist die zweite Zeile fertig, das Ganze kopiert man mit einer Drehung in die zweite Spalte. Dann ergibt sich für den Rest nach den selben Überlegungen wie beim 3-elementigen Körper

a + a = 0, a + b = 1 = b + a

und

b + b = a

.

Wenn nun aber

1 + 1 = b

gesetzt wird, dann folgt, dass

1 + b = a

ist, da das a nicht in der dritten Spalte stehen kann, und letztendlich

1 + a = 0

. Damit ist die zweite Zeile fertig, das Ganze kopiert man mit einer Drehung in die zweite Spalte. Dann ergibt sich für den Rest nach den selben Überlegungen wie beim 3-elementigen Körper Dann ergibt sich für den Rest nach den selben Überlegungen wie beim 3-elementigen Körper

b + b = 0, a + b = 1 = b + a

und

a + a = b

. Das sieht dann so aus:

(\begin{matrix} + & 0 & 1 & a & b \\ 0 & 0 & 1 & a & b \\ 1 & 1 & b & 0 & a \\ a & a & 0 & b & 1 \\ b & b & a & 1 & 0 \end{matrix})

Man könnte sogar noch so etwas machen:

(\begin{matrix} + & 0 & 1 & a & b \\ 0 & 0 & 1 & a & b \\ 1 & 1 & 0 & b & a \\ a & a & b & 0 & 1 \\ b & b & a & 1 & 0 \end{matrix})

Oder so etwas:

(\begin{matrix} + & 0 & 1 & a & b \\ 0 & 0 & 1 & a & b \\ 1 & 1 & 0 & b & a \\ a & a & b & 1 & 0 \\ b & b & a & 0 & 1 \end{matrix})

Natürlich muss man für alle diese Tabellen nachweisen, dass sie zulässig sind,

d . h

. dass das Assoziativgesetz gilt...

tommy40629 aktiv_icon

14:57 Uhr, 12.11.2013

Hast Du gut erklärt. Danke!
Wenn ich alles verstanden habe, bekomme ich den Körper mit 5 Elementen alleine hin.

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