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Additionstheorem

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Integration

Tags: Integration

spiegelbirke

23:28 Uhr, 06.10.2019

Hallo

ich habe das Integral:

\int_{0}^{T} c o s (w t) * c o s (3 w t) d t

mit dem Additionstheorem:

c o s (α) + c o s (β) = 2 c o s ((α + β) / 2) c o s (α - β / 2)

genutzt.

Mit

(α + β) / 2 := 3 w t

und

(α - β) / 2 := w t

folgen

α = 4 w t

und

β = 2 w t

Diese Herleitung ist gegeben.. das verstehe ich schon nicht, soll man aber glaub ich einfach so hinnehmen..

Mein eigentliches Problem ist, dass ich folgende Umstellung nicht verstehe:

\int_{0}^{T} c o s (w t) * c o s (3 w t) d t

1 / 2 \int_{0}^{T} c o s (4 w t) d t + 1 / 2 \int_{0}^{T} c o s (2 w t) d t

Vor allem das 1/2 verwirrt mich..
Wahrscheinlich komme ich grade inefach nicht drauf aber wäre cool wenn mir jemand helfen kann
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

23:41 Uhr, 06.10.2019

Hallo? Das hast du doch gerade vorher nachgewiesen!!!

Nochmal ausführlichst dargelegt:

α = 4 w t

sowie

β = 2 w t

\cos (α) + \cos (β) = 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})

eingesetzt ergibt

\cos (4 w t) + \cos (2 w t) = 2 \cos (3 w t) \cos (w t)

. Durch 2 dividiert und von rechts nach links gelesen ergibt sich

\cos (w t) \cos (3 w t) = \frac{1}{2} \cos (4 w t) + \frac{1}{2} \cos (2 w t)

,

und das wird nun von

0

bis

T

integriert - wo siehst du da noch ein Problem?

spiegelbirke

23:44 Uhr, 06.10.2019

Ja,
stimmt. Oh man, so einfach :-D)
Sonntags Abend ist vielleicht schuld ..
Besten dank!

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05:22 Uhr, 07.10.2019

www.integralrechner.de

spiegelbirke

14:42 Uhr, 07.10.2019

Kann mir vielleicht jemand nochmal die Herleitung zu:

α = 4 w t

und

β = 2 w t

erklären?

HAL9000

17:08 Uhr, 07.10.2019

Ziel ist es, das oben genannte Additionstheorem auf das Produkt

\cos (w t) \cdot \cos (3 w t)

anzuwenden. Warum will man das tun? Nun einfach deshalb, weil man Summen von Sinus-/Kosinusfunktionen unmittelbar integrieren kann, was bei Produkten so nicht funktioniert.

Also versucht man das genannte Produkt in die Struktur

\cos (\frac{α - β}{2}) \cdot \cos (\frac{α + β}{2})

zu kriegen, was natürlich per Koeffizientenvergleich gelingt, wenn wir

α, β

so wählen, dass

\frac{α - β}{2} = w t

sowie

\frac{α + β}{2} = 3 w t

erfüllt ist. Das ist ein lineares 2x2-Gleichungssystem für

α, β

, das wirst du doch wohl allein lösen können - die eindeutige Lösung ist dann eben

α = 4 w t, β = 2 w t

ledum aktiv_icon

22:12 Uhr, 07.10.2019

Hallo
die exakte Herleitung steht doch in deinem ersten post, was daran ist unklar? Der Beweis der Formel geht von links nach rechts: wende einfach die gewöhnlichen Additionstheoreme an
Gruß ledum

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