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Additionstheorem der Binomialkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Additionstheorem, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, umformung

truemmerwolf aktiv_icon

15:38 Uhr, 17.09.2012

Hi, Ich habe da mal eine Frage und zwar ist diese Bezogen auf das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.

Wir hatten festgelegt das

(\begin{matrix} m \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} m \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} m + 1 \\ k \end{matrix})

ist und sollten das nun Beweisen.

Ich habe in der Stochastik gelernt das

(\begin{matrix} m \\ k \end{matrix}) = \frac{m!}{k! \cdot (m - k)!}

ist und das habe ich dann angewendet.

\frac{m!}{(k - 1)! \cdot (m - (k - 1))!} + \frac{m!}{k! \cdot (m - k)!} =

? Hier kommt meine Frage, normalerweise würde ich nun den Hauptnenner beider Brüche suchen ,aber da es sich hier um Fakultäten handelt und ich keine Umformungsregeln für Fakultäten kenne befinde ich mich in einer Sackgasse.
Also wie forme ich weiter um, um die obige Aussage zu beweisen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Shipwater aktiv_icon

15:46 Uhr, 17.09.2012

Hi,

es gilt

k! = k \cdot (k - 1)!

und

(m - (k - 1))!

kannst du auch schreiben als

(m - k + 1)!

. Damit gilt

(m - k + 1)! = (m - k + 1) \cdot (m - k)!

Du kannst den ersten Bruch also mit

k

und den zweiten mit

(m - k + 1)

erweitern. Schau mal, ob das zielführend ist.
Allgemein gilt ja einfach

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n

Gruß Shipwater

truemmerwolf aktiv_icon

16:13 Uhr, 17.09.2012

Das einzige was ich Bis hin zum Abi gelernt habe ist wie man die Fakultät-Taste des Taschenrechners einsetzt und nCr / nPr ...den rest habe ich mir i-wie aus den Fingern gesogen ich werds probieren.

Also

k! = k \cdot (k - 1)

Und bei

(m - (k - 1))!

löse ich die Klammer auf udn es entsteht

(m - k + 1)!

Und Allgemein gilt:

1 \cdot 2 \cdot 3 ... (n - 1) \cdot n = n!

mein Gleichung war

\frac{m!}{(k - 1)! \cdot (m - (k - 1))!} + \frac{m!}{k! - (m - k)!}

Nun ist die Frage wie erweitere ich, sollte ich die Oben geschriebenen Tatsachen nutzen um die Fakultäten aufzulösen und dann erweiter ? oder kann ich das alles mit den Fakultäten erweiter ? (Tut mir leid falls das Anfänger Fragen sind aber in dem Thema bin ich wirklich ein Anfänger.)

Shipwater aktiv_icon

16:21 Uhr, 17.09.2012

Eigentlich hab ich dir doch schon gesagt welchen Bruch du mit was erweitern sollst. Schau noch mal nach im ersten Beitrag. Und es gilt

k! = k \cdot (k - 1)!

also "k Fakultät ist gleich

k

mal

(k - 1)

Fakultät".

truemmerwolf aktiv_icon

16:33 Uhr, 17.09.2012

\frac{(m!) \cdot (k!)}{(k - 1)! \cdot (m - k + 1)! \cdot k!} + \frac{(m!) \cdot (k!)}{k! \cdot (m - k)! \cdot (m - k + 1)!}

nun haben sie aber nicht den gleichen Nenner deswegenn denke ich das ich es falsch gemacht habe.

Shipwater aktiv_icon

16:36 Uhr, 17.09.2012

Ich hab dir doch im ersten Beitrag geschrieben mit was du welchen Bruch erweitern sollst. Mach das doch einfach. Oder findest du den Abschnitt nicht..?

\to

Du kannst den ersten Bruch also mit

k

und den zweiten mit

(m - k + 1)

erweitern.

truemmerwolf aktiv_icon

16:39 Uhr, 17.09.2012

Dann müsste das doch erweiter so aussehen

\frac{(m!) \cdot (k!)}{(k - 1)! \cdot (m - k + 1)! \cdot k!} + \frac{(m!) \cdot (m - k + 1)!}{k! \cdot (m - k)! \cdot (m - k + 1)!}

aber es ändert sich doch nichts am Nenner trotz der erweiterung sehen die für mich nicht gleich aus.

Shipwater aktiv_icon

17:21 Uhr, 17.09.2012

Sorry, aber ich frag mich langsam wirklich ob du Probleme beim Lesen hast.
Ich hab geschrieben: Du kannst den ersten Bruch also mit

k

und den zweiten mit

(m - k + 1)

erweitern.
Und ich hab nicht geschrieben: Du kannst den ersten Bruch also mit

k!

und den zweiten mit

(m - k + 1)!

erweitern.
Der Unterschied ist dir doch hoffentlich klar. Und wenn du das dann einfach mal so machst wie vorgeschlagen, dann steht die Lösung auch schon so gut wie da.

truemmerwolf aktiv_icon

17:54 Uhr, 17.09.2012