Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Adjungierte Abbildung

Adjungierte Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

19:34 Uhr, 11.09.2019

Antworten
Guten Abend,

im Zuge meiner Klausurvorbereitung rechne ich momentan allerhand Aufgaben und habe momentan Probleme bei dieser

4. Es seien (V,<,>) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und L,L' En-
domorphismen von V mit <L(u),v>=<u,L'(v)> für alle u,vV.
Zeigen Sie:
(a) gilt L'L= idV, so ist L orthogonal,
(b) ist U ein Untervektorraum von V mit L(U)U, so gilt L'(U)U
(c) M:=LL' ist symmetrisch,
(d) N:=L+L' ist symmetrisch.

Okay zuerst einmal ist doch´die L' zu L adjungierte Abbildung oder?

zu a) wenn L^'L=id gilt ist L eine Isometrie und somit auch orthogonal?

zu b) nehme ich mir ein Element und zeigen das dann? oder wie macht man das am Besten?

bei c und d) habe ich noch keine Ahnung
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:41 Uhr, 11.09.2019

Antworten
Hallo,
ja, Lʹ ist die adjungierte Abbildung.
Zu a) wie hast du denn gezeigt, dass es eine Isometrie ist?
Wenn es denn eine ist, ist es eine orthogonale Abbildung.
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:49 Uhr, 12.09.2019

Antworten
Hallo,
zu b):
deine Idee vorzugehen ist OK.
Sei also L(U)U und vU.
Dann gilt <Lʹ(v),u>=<v,L(u)>=...
zu c):
zu zeigen ist, dass M selbstadjungiert ist, d.h. M=Mʹ gilt.
Für beliebige u,vV gilt:
<u,Mʹv=<Mu,v>=<(LLʹ)u,v>=<L(Lʹu),v>=<Lʹu,Lʹv>=...
zu d):
Hier benutze die Bilinearität des Skalarproduktes.
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

21:39 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Wenn alles klar ist, hake die Aufgabe bitte ab.
Frage beantwortet
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

22:08 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Mache ich!
Und nochmal Vielen Dank