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Adjungierte Abbildung

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

 
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shiroxx

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19:34 Uhr, 11.09.2019

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Guten Abend,

im Zuge meiner Klausurvorbereitung rechne ich momentan allerhand Aufgaben und habe momentan Probleme bei dieser

4. Es seien (V,<,>) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und L,L' En-
domorphismen von V mit <L(u),v>=<u,L'(v)> für alle u,vV.
Zeigen Sie:
(a) gilt L'L= idV, so ist L orthogonal,
(b) ist U ein Untervektorraum von V mit L(U)U, so gilt L'(U)U
(c) M:=LL' ist symmetrisch,
(d) N:=L+L' ist symmetrisch.

Okay zuerst einmal ist doch´die L' zu L adjungierte Abbildung oder?

zu a) wenn L^'L=id gilt ist L eine Isometrie und somit auch orthogonal?

zu b) nehme ich mir ein Element und zeigen das dann? oder wie macht man das am Besten?

bei c und d) habe ich noch keine Ahnung
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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22:41 Uhr, 11.09.2019

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Hallo,
ja, Lʹ ist die adjungierte Abbildung.
Zu a) wie hast du denn gezeigt, dass es eine Isometrie ist?
Wenn es denn eine ist, ist es eine orthogonale Abbildung.
Gruß ermanus
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ermanus

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09:49 Uhr, 12.09.2019

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Hallo,
zu b):
deine Idee vorzugehen ist OK.
Sei also L(U)U und vU.
Dann gilt <Lʹ(v),u>=<v,L(u)>=...
zu c):
zu zeigen ist, dass M selbstadjungiert ist, d.h. M=Mʹ gilt.
Für beliebige u,vV gilt:
<u,Mʹv=<Mu,v>=<(LLʹ)u,v>=<L(Lʹu),v>=<Lʹu,Lʹv>=...
zu d):
Hier benutze die Bilinearität des Skalarproduktes.
Gruß ermanus
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ermanus

ermanus aktiv_icon

21:39 Uhr, 13.09.2019

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Wenn alles klar ist, hake die Aufgabe bitte ab.
Frage beantwortet
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

22:08 Uhr, 13.09.2019

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Mache ich!
Und nochmal Vielen Dank