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Adjungierte Abbildungen, endlich-dimensionale VR

Universität / Fachhochschule

Tags: Abbildung, Adjungiert, Skalarprodukt, Vektorraum

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13:28 Uhr, 05.07.2015

Über

K = ℝ

oder

K = ℂ

sei

V

ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit positiv-definitem Skalarprodukt. Ferner sei

φ

in Hom_K

(V, V)

und

φ^{\cdot}

die Adjungierte zu

φ

a)

Zeigen Sie: Kern

(φ^{\cdot} φ) =

Kern

(φ)

b)

Folgern Sie:

r (φ φ^{\cdot}) = r (φ) = r (φ^{\cdot} φ)

c)

Gilt auch Kern

(φ φ^{\cdot}) =

Kern

(φ)

? (Begründung)

Danke für jede Hilfe !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

14:03 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

der Reihe nach (wäre mein Vorschlag):
Ist dir (unabhängig von der "besonderen" Abbildung

φ ʹ

(besonders im Zusammenhang mit

φ

) klar, dass stets

\ker (g \circ f) \supseteq \ker (f)

gelten muss? Also auch insbesondere

\ker (φ ʹ \circ φ) \supseteq \ker (φ)

?
(Ich interpretiere dein

φ ʹ φ

als

φ ʹ \circ φ

.)

Mfg Michael

PS: BTW, ich weiß mit

r (φ)

und dergleichen nichts anzufangen. Bedeutung? (Für später!)

VA!13 aktiv_icon

14:42 Uhr, 05.07.2015

Ich denke, ich kenne diesen Zusammenhang, hätte aber

φ φ'

als einfaches Produkt gesehen
und

r

haben wir "nur" so definiert:

r (φ') = dim (

Bild (

φ')) = dim (

Kern

(φ))^{⊥} = dim (V) - dim

(Kern(

φ)) = dim

(Bild

φ) = r (φ)

Vielleicht könnte man davon die Lösung irgendwie ableiten, aber ich komme nicht drauf..

michaL aktiv_icon

14:52 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

hm, ist dir das klar (heißt, kannst du das beweisen)?

Wenn ja, brauchen wir nur noch die andere Mengeninklusion.

> hätte aber φφ′ als einfaches Produkt gesehen

Nun, offenbar soll ja der Kern davon untersucht werden, was bedeutet, dass

φ ʹ φ

wieder eine linear Abbildung sein muss. Egal, wie DU es verstehst, es muss ja definiert sein. Dann gib doch bitte an, wie ich es als Produkt verstehen soll. Denn: Ein natürliches (kanonisches) Produkt ist auf Vektorräumen nicht definiert (es sei denn, du meinst das Standardskalarprodukt).
Dann könnte ich aber ein Gegenbeispiel angeben (glaube ich zumindest).

Um

r

kümmern wir uns doch vielleicht später...

Mfg Michael

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15:07 Uhr, 05.07.2015

Jetzt bin ich ehrlich gesagt ein bisschen durcheinander, habe mir nie Gedanken darüber gemacht, was denn genau untersucht werden soll, dann ist es ja wahrscheinlich doch

φ \circ φ'

??
Und beweisen kann ich den genannten Zusammenhang aber nicht

michaL aktiv_icon

15:25 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

ok, ich bleibe mal bei

φ ʹ \circ φ

für

φ ʹ φ

. (Hast du nicht einen Scan der Originalaufgabenstellung?!)

Ok, dass

\ker (f) \subseteq \ker (g \circ f)

gilt, ist ziemlich einfach. Dafür keinen Beweis zu haben, ist schon ein bisschen peinlich.

Was heißt denn, dass

v

ein Element von

\ker (f)

ist?

Mfg Michael

VA!13 aktiv_icon

15:37 Uhr, 05.07.2015

in der originalen Aufgabenstellung steht es so da, wie ich es gefragt habe, also ohne rechenzeichen

ein element von

v

ist ja eins, dass auf die null abgebildet wird

michaL aktiv_icon

15:44 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

hm, durch welche Abbildung? Sei doch xo gut und verwende die einzige für diese Dinge geeignete Sprache, die mathematische Formelsprache.

Anfangs lästig, später unverzichtbar.

Mfg Michael

VA!13 aktiv_icon

16:00 Uhr, 05.07.2015

Naja, danke für deine Hilfe, aber ich könnte mir ja jetzt Mühe geben und das alles korrekt benennen, aber eigentlich geht es mir ja mehr um die Aufgabe

michaL aktiv_icon

16:17 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

keine Ursache.

> ich könnte mir ja jetzt Mühe geben und das alles korrekt benennen, aber eigentlich geht es mir ja mehr um die
> Aufgabe

Und wenn du verstanden hast, dass beides das gleiche ist, dann geht's auch leichter voran.

Ich kann dir helfen, a) ist ziemlich einfach. Aber ebe nur "helfen", ich werde dir keine Lösung posten, die dudann einfach kopieren kannst.

Mfg MIchael

VA!13 aktiv_icon

16:31 Uhr, 05.07.2015

Ich hab mir auch schon gedacht, dass die Aufgabe ziemlich einfach ist, vielleicht brauche ich auch einfach nur einen korrekten Ansatz mit dem ich dann weiterarbeiten kann

michaL aktiv_icon

17:01 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

> vielleicht brauche ich auch einfach nur einen korrekten Ansatz mit dem ich dann weiterarbeiten kann

Du musst eine Mengengleichheit zeigen. Das macht man, indem man beweist, dass jede der beiden Mengen Teilmenge der anderen ist.
Du musst also

\ker (φ ʹ \circ φ) \subseteq \ker (φ)

und umgekehrt

\ker (φ) \subseteq \ker (φ ʹ \circ φ)

zeigen.
Beim zweiten wollte ich loslegen, da das sogar dann gilt, wenn

φ

und

φ ʹ

nichts miteinander zu tun haben.

Da waren wir stehen geblieben:
Beschreibe (mathematisch), was

x \in \ker (f)

zu bedeuten hat (schreibe jetzt für diese "Inklusion"

f

statt

φ

und

g

statt

φ ʹ

).

Mfg Michael

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