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Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

stefan111 aktiv_icon

21:04 Uhr, 17.05.2011

So, noch eine Frage zur Ähnlichkeitsdifferentialgleichung:

gesucht ist die Lösung folgender Funktion:

y ´ = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2}}{2 x y}

mit der Anfangsbedingung: y/1) = 2; weiters ist die Probe gesucht...

Leider weiß ich nicht, wie das funktioniert....bzw. kann man hier nicht mit der Partialbruchzerlegung arbeiten, denke ich...

Könnte mir jemand zeigen, wie das zu lösen ist?`

Danke,schöne Grüße

ericsatie76 aktiv_icon

22:34 Uhr, 17.05.2011

Das Problem ist die Trennung der Variabeln. Dabei hilft folgende Substitution:

z = \frac{y}{x} \Rightarrow z \cdot x = y \Rightarrow y' = z' \cdot x + z

y'

zudem durch die Substitution

y' = \frac{x^{2} + y^{2}}{2 x y} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{z} + z)

von

z

abhängig ist kann man auch

y' = f (z)

schreiben.

\Rightarrow y' = f (z) = z' \cdot x + z | - z

\Rightarrow f (z) - z = \frac{d z}{d x} \cdot x

Trennung der Variabeln:

\Rightarrow \frac{d x}{x} = \frac{d z}{f (z) - z}

\Rightarrow \int \frac{d x}{x} = ln x + C

= \int \frac{d z}{f (z) - z} = \int \frac{d z}{\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{z} + z) - z} = \int \frac{2 z}{1 - z^{2}} d z

Entweder mit Partialbruchzerlegung oder da im Zähler (fast) die Ableitung des Nenners steht:

\int \frac{2 z}{1 - z^{2}} d z = - \int \frac{- 2 z}{1 - z^{2}} d z = - ln (1 - z^{2})

\Rightarrow ln (x) + C = - ln (1 - z^{2})

\Rightarrow - ln (x) - C = ln (1 - z^{2})

\Rightarrow 1 - z^{2} = e^{- ln (x) - C} = \frac{1}{x} \cdot e^{- C} = \frac{1}{x} \cdot C'

\Rightarrow z^{2} = 1 - \frac{1}{x} \cdot C'

z = \sqrt{1 - \frac{1}{x} \cdot C'}

oder

z = - \sqrt{1 - \frac{1}{x} \cdot C'}

z = \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{x}{y} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{x} \cdot C'}

\Rightarrow y = \frac{x}{\pm \sqrt{1 - \frac{1}{x} \cdot C'}}

y (1) = 5

fällt die negative Lösung weg:

y (1) = 5 \Rightarrow 5 = \frac{1}{\sqrt{1 - C'}} \Rightarrow \sqrt{1 - C'} = \frac{1}{5} \Rightarrow 1 - C' = \frac{1}{25} \Rightarrow \frac{24}{25} = C'

\Rightarrow y (x) = \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{24}{25 x}}} = \frac{x}{5 \cdot \sqrt{25 - \frac{24}{x}}}

Wenn ich nicht verrechnet habe, sollte das stimmen.

LG Jan

rundblick aktiv_icon

01:12 Uhr, 18.05.2011

" Wenn ich nicht verrechnet habe, sollte das stimmen. "

das ist schon mal sicher allemal eine wahre Aussage..

nun gleich zu Beginn scheint mir die Aufgabe aber schonmal so auszusehen:

y' = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2}}{2 \cdot x \cdot y}

also

y' = \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

und mit

z = \frac{y}{x}

und dann

y' = z' \cdot x + z

folgt:

z' \cdot x + z = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{z} + z

also dann

z' \cdot x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{z}

und nach Trennung der Variablen:

z \cdot d z = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot d x

der erste Schritt zur Integration führt dann also auf

\frac{1}{2} \cdot z^{2} = \frac{3}{2} \cdot ln | x | + c 1

z^{2} = 3 \cdot ln | x | + c

so, jetzt kannst du sicher die letzen Schritte zur Lösung
der ursprünglichen DGL noch selbst ausführen

ok?

stefan111 aktiv_icon

07:22 Uhr, 18.05.2011

Ok, danke;
leider kann ich den Rest auch noch nicht lösen:

z^{2} = 3 * l n {x} + c

Kann mir jemand helfen?

Danke, schöne Grüße

ericsatie76 aktiv_icon

10:05 Uhr, 18.05.2011

Mist, schon gleich am Anfang einen Fehler gemacht. Deine Lösung sieht richtig aus.

Sorry. Viel Text und wenig Sinnvolles. :-)

LG Jan

stefan111 aktiv_icon

12:57 Uhr, 23.05.2011

Danke für die Antworten; melde mich, falls es noch Fragen gibt...

Schöne Grüße

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